Analiza 2b

Opravljen predmet Analiza 1.

Lokalna parametrizacija. Ločna dolžina. Prva fundamentalna forma ploskve. Površina. Skalarna in vektorska polja. Gradient, rotor, divergenca in Laplaceov operator. Krivuljni in ploskovni integrali. Gaussov izrek. Stokesov izrek in Greenova formula. Uporaba.
Holomorfne in harmonične funkcije. Cauchy-Riemannove enačbe. Integrali kompleksnih funkcij. Greenova formula. Cauchyjeva formula. Razvoj v vrsto. Izrek o enoličnosti. Cauchyjeve ocene. Liouvillov izrek. Osnovni izrek algebre. Izrek o odprtosti holomorfne funkcije. Princip maksimuma. Razvoj v Laurentovo vrsto. Klasifikacija izoliranih singularnih točk. Meromorfne funkcije. Red ničle ali pola. Izrek o ostankih in uporaba. Princip argumenta. Rouchéjev izrek. Holomorfne funkcije kot preslikave. Konformne preslikave, elementarni primeri. Schwarzeva lema. Holomorfni avtomorfizmi kroga in ravnine. Riemannov upodobitveni izrek (brez dokaza).
Fourierove vrste.

1. L. V. Ahlfors: Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, 3rd ed., New York : McGraw-Hill, cop. 1979.
2. T. A. Apostol: Calculus. Vol. 2, Calculus of several variables with applications to probability and vector analysis, New York : Blaisdell, 1962.
3. J. B. Conway: Functions of one complex variable, 2nd ed., New York : Springer, cop. 1978.
4. J. E. Marsden, A. J. Tromba: Vector calculus, 2nd ed., New York : W. H. Freeman, cop. 1981.
5. A. Suhadolc: Integralske transformacije ; Integralske enačbe, 2. natis. - Ljubljana : Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, 1994.
6. A. Suhadolc: Metrični prostor, Hilbertov prostor, Fourierova analiza, Laplaceova transformacija, Ljubljana : Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, 1998.
7. I. Vidav: Višja matematika. 2, Ljubljana : Državna založba Slovenije, 1975.

Študent se seznani s krivuljnimi in ploskovnimi integrali, osnovami vektorske analize in osnovami teorije funkcij ene kompleksne spremenljivke.

Znanje in razumevanje: Razumevanje vektorske in kompleksne analize ter sorodnih tem. Uporaba razvitih metod v geometriji in naravoslovju.
Uporaba: Analiza 2b sodi med temeljne predmete pri študiju matematike vseh usmeritev in je pogoj za vpis predmetov Analiza 3, Kompleksna analiza, Teorija mere, Funkcionalna analiza, Verjetnost in statistika, Analiza na mnogoterostih.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Postavitev problema, izbira primerne metode, reševanje problema, analiza doseženega rezultata na primerih. Formulacija problemov v matematičnem jeziku. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

2 kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj
Izpit iz teorije
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

ČERNE, Miran. Nonlinear Riemann-Hilbert problem for bordered Riemann surfaces. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2004, vol. 126, no. 1, str. 65-87. [COBISS-SI-ID 12895577]
ČERNE, Miran, FORSTNERIČ, Franc. Embedding some bordered Riemann surfaces in the affine plane. Mathematical research letters, ISSN 1073-2780, 2002, vol. 9, no. 5-6, str. 683-696. [COBISS-SI-ID 12391257]
ČERNE, Miran. Maximal plurisubharmonic functions and the polynomial hull of a completely circled fibration. Arkiv för matematik, ISSN 0004-2080, 2002, vol. 40, no. 1, str. 27-45. [COBISS-SI-ID 11623513]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. Discs in Stein manifolds containing given discrete sets. Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874, 2002, vol. 239, no. 4, str. 683-702. [COBISS-SI-ID 11567449]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. Proper holomorphic discs avoiding closed convex sets. Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874, 2002, vol. 241, no. 3, str. 593-596. [COBISS-SI-ID 12076377]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. Proper discs in Stein manifolds avoiding complete pluripolar sets. Mathematical research letters, ISSN 1073-2780, 2004, vol. 11, no. 5-6, str. 575-581. [COBISS-SI-ID 13311065]
FORSTNERIČ, Franc. Runge approximation on convex sets implies the Oka property. Annals of mathematics, ISSN 0003-486X, 2006, vol. 163, no. 2, str. 689-707. [COBISS-SI-ID 13908825]
FORSTNERIČ, Franc. Noncritical holomorphic functions on Stein manifolds. Acta mathematica, ISSN 0001-5962, 2003, vol. 191, no. 2, str. 143-189. [COBISS-SI-ID 13138009]
FORSTNERIČ, Franc, ROSAY, Jean-Pierre. Approximation of biholomorphic mappings by automorphisms of C [sup] n. Inventiones Mathematicae, ISSN 0020-9910, 1993, let. 112, št. 2, str. 323-349. [COBISS-SI-ID 9452121]