Slučajni procesi 1

Opravljen predmet Verjetnost.

Slučajni procesi v diskretnem in zveznem času.
Procesi štetja: homogeni Poissonovi procesi (definicija, lastnost medprihodnih časov, lastnost vrstilnih statistik), nehomogeni Poissonovi procesi (karakterizacija, konstrukcija), prenovitveni procesi (definicija, osnovni prenovitveni izrek, prenovitvene enačbe).
Brownovo gibanje: konstrukcija Brownovega gibanja, lastnosti trajektorij, krepka lastnost Markova, princip zrcaljenja.
Markovske verige v diskretnem času: klasifikacija stanj, klasifikacija verig, lastnost Markova, ergodijske lastnosti.
Markovske verige v zveznem času: definicija, krepka lastnost Markova, začetne in končne enačbe Kolmogorova, rojstno-smrtni procesi, procesi razvejanja, ergodijske lastnosti.

1. Z. Brzeźniak, T. Zastawniak: Basic stochastic processes : a course through exercises, London : Springer, cop. 1999.
2. J. F. C. Kingman: Poisson processes, Oxford : Clarendon Press : Oxford university, cop. 1993.
3. J. R. Norris: Markov chains, Cambridge : Cambridge University Press, 1999.
4. B. Øksendal: Stochastic differential equations : an introduction with applications, 6th ed., Berlin : Springer, cop. 2005.
5. S. Resnick: Adventures in stochastic processes, Boston : Birkhäuser, cop. 1992.
6. D. Williams: Probability with martingales, Cambridge : Cambridge University Press, 1995.

Predmet je uvod v teorijo slučajnih procesov v zveznem času in predstavlja osnovne gradnike teorije slučajnih procesov kot so Poissonovi procesi, prenovitveni procesi, markovske verige v diskretnem in zveznem času ter Brownovo gibanje.

Znanje in razumevanje: Razumevanje soigre naključnosti in časa in usvojitev za to potrebnih matematičnih orodij.
Uporaba: Osnova za modeliranje v mnogih vejah matematike in njene uporabe, še posebej na področju zavarovalništva in financ.
Refleksija: Vsebina predmeta pomaga za nazaj poglobiti razumevanje konceptov verjetnosti in koncepta odvisnosti.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnosti so prenosljive na druga področja matematičnega modeliranja, še najbolj pa je predmet pomemben zaradi svoje neposredne uporabnosti pri finančnem modeliranju

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

2 kolokvija namesto izpita iz vaj / izpit iz vaj
izpit iz teorije
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Mihael Perman:
AHČAN, Aleš, MASTEN, Igor, POLANEC, Sašo, PERMAN, Mihael. Quantile approximations in auto-regressive portfolio models. Journal of Computational and Applied Mathematics, ISSN 0377-0427. [Print ed.], Feb 2011, vol. 235, iss. 8, str. 1976-1983. [COBISS-SI-ID 19878630]
KOMELJ, Janez, PERMAN, Mihael. Joint characteristic functions construction via copulas. Insurance. Mathematics & economics, ISSN 0167-6687, 2010, vol. 47, iss. 2, str. 137-143. [COBISS-SI-ID 16242777]
HUZAK, Miljenko, PERMAN, Mihael, ŠIKIĆ, Hrvoje, VONDRAČEK, Zoran. Ruin probabilities and decompositions for general perturbed risk processes. Annals of applied probability, ISSN 1050-5164, 2004, vol. 14, no. 3, str. 1378-1397. [COBISS-SI-ID 13168985]

Matija Vidmar:
VIDMAR, Matija. Another characterization of homogeneous Poisson processes. Stochastics. 2018, vol. 90, iss. 6, str. 876-885. ISSN 1744-2508. https://doi.org/10.1080/17442508.2018.1457674, DOI: 10.1080/17442508.2018.1457674.
VIDMAR, Matija. Ruin under stochastic dependence between premium and claim arrivals. Scandinavian actuarial journal. 2018, vol. 2018, no. 6, str. 505-513. ISSN 0346-1238. https://doi.org/10.1080/03461238.2017.1391114, DOI: 10.1080/03461238.2017.1391114.
VIDMAR, Matija. Some characterizations for Markov processes at first passage. ALEA. Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics. 2022, vol. 19, no. 2, str. 1649-1678. ISSN 1980-0436. https://alea.impa.br/articles/v19/19-63.pdf, DOI: 10.30757/ALEA.v19-63.