Numerične metode 1

2022/2023
Program:
Visokošolski strokovni študijski program 1. stopnje Praktična matematika
Letnik:
2 letnik
Semester:
prvi in drugi
Vrsta:
obvezni
ECTS:
10
Jezik:
slovenski
Ure na teden – 1. semester:
Predavanja
2
Seminar
0
Vaje
1
Laboratorij
1
Ure na teden – 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
0
Vaje
1
Laboratorij
1
Vsebina

Osnove numeričnega računanja:
predstavitev števil v računalniku, napake pri numeričnem računanju, občutljivost problema, direktna in obratna stabilnost algoritmov,
Reševanje nelinearnih enačb in sistemov nelinearnih enačb:
bisekcija, navadna iteracija, tangentna metoda, sekantna metoda, red konvergence, iskanje ničel polinomov, Newtonova metoda za sisteme, iskanje minimuma,
Linearni sistemi enačb:
vektorske in matrične norme, LU razcep (brez in s pivotiranjem), občutljivost in obratna stabilnost, aposteriorna napaka, simetrično pozitivno definitne matrike, razcep Choleskega,
Predoločeni sistemi:
Reševanje predoločenih sistemov po metodi najmanjših kvadratov, normalni sistem, QR razcep matrike, Gram Schmidtov postopek, Householderjeva zrcaljenja in Givensove rotacije, singularni razcep, nelinearen problem najmanjših kvadratov,
Aproksimacija in interpolacija:
Aproksimacija po metodi najmanjših kvadratov v prostorih s skalarnim produktom, interpolacija, Lagrangeva in Newtonova oblika interpolacijskega polinoma, napaka interpolacije,
Računanje lastnih vrednosti:
Schurova forma, potenčna metoda, inverzna potenčna metoda, QR iteracija

Temeljni literatura in viri

Z. Bohte: Numerična analiza, Višja matematika III, DMFA založništvo, Ljubljana, 1976.
Z. Bohte: Numerične metode, DMFA založništvo, Ljubljana, 1987.
E. Zakrajšek: Uvod v numerične metode, DMFA založništvo, Ljubljana 1998.
Z. Bohte: Numerično reševanje sistemov linearnih enačb, DMFA založništvo, Ljubljana, 1994.
J.W. Demmel, Priredba E. Zakrajšek: Uporabna numerična linearna algebra, DMFA založništvo, Ljubljana, 2000.
L. Fox, D.F. Mayers: Computing Methods for Scientists and Engineers, Clarendon Press, Oxford, 1968.
E. Isaacson, H.B. Keller: Analysis of Numerical Methods, John Wiley&Sons, Inc., 1966.
J. Kozak: Numerična analiza, DMFA založništvo, Ljubljana 2008.

Cilji in kompetence

Študentje bodo spoznali algoritme za numerično reševanje problemov iz linearne algebre, kot so reševanje linearnih sistemov enačb, predoločenih sistemov, iskanje lastnih vrednosti matrik. Naučili se bodo biti pozorni na napake, ki nastanejo pri numeričnem računanju. Seznanili se bodo tudi s postopki za iskanje ničel nelinearnih enačb in sistemov nelinearnih enačb. Osvojili bodo osnovno znanje iz teorije aproksimacije in interpolacije. Na vajah bodo s programi v MATLAB-u preizkusili delovanje algoritmov ter njihovo uporabo na problemih iz realnega življenja. S tem bodo pridobili praktično znanje.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje:
Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov in stabilnih algoritmov za reševanje problemov iz linearne algebre. Poznavanje metod za iskanje rešitev nelinearnih enačb. Razumevanje osnov pri aproksimaciji in interpolaciji funkcij.
Uporaba:
Uporabna numerična linearna algebra sodi v večino naravoslovnih, tehničnih in družboslovnih področij znanosti. Aproksimacija in interpolacija se uporabljata v računalniški grafiki, geometrijskem oblikovanju in v robotiki.
Refleksija:
Povezovanje teoretičnih in praktičnih postopkov za reševanje uporabnih problemov.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Izbira stabilnega algoritma za reševanje konkretnega problema, ki se pojavi v praksi. Znanje se prenaša na praktično vse vede: statistika, naravoslovje, itd.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, laboratorijske vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Pisni izpit. Izpit iz vaj (trije kolokviji ali pisni izpit)
Ustni izpit in domače naloge.
Tri domače naloge (pogoj za pristop k ustnemu delu izpita).
Študenti dobijo dve oceni: eno iz pisnega izpita, drugo iz ustnega izpita ter domačih nalog.
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Marjetka Krajnc:
JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, KRAJNC, Marjetka, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil. High order parametric polynomial approximation of conic sections. Constructive approximation, ISSN 0176-4276, 2013, vol. 38, iss. 1, str. 1-18. [COBISS-SI-ID 16716121]
KRAJNC, Marjetka. Interpolation scheme for planar cubic G [sup] 2 spline curves. Acta applicandae mathematicae, ISSN 0167-8019, 2011, vol. 113, no. 2, str. 129-143. [COBISS-SI-ID 16215385]
KRAJNC, Marjetka. Geometric Hermite interpolation by cubic G[sup]1 splines. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, ISSN 0362-546X. [Print ed.], 2009, vol. 70, iss. 7, str. 2614-2626. [COBISS-SI-ID 15508569]
Emil Žagar:
JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil. Lagrange geometric interpolation by rational spatial cubic Bézier curves. Computer Aided Geometric Design, ISSN 0167-8396, 2012, vol. 29, iss. 3-4, str. 175-188. [COBISS-SI-ID 16207449]
KOZAK, Jernej, ŽAGAR, Emil. On geometric interpolation by polynomial curves. SIAM journal on numerical analysis, ISSN 0036-1429, 2004, vol. 42, no. 3, str. 953-967. [COBISS-SI-ID 13398617]
ŽAGAR, Emil. On G [sup] 2 continuous spline interpolation of curves in R [sup] d. BIT, ISSN 0006-3835, 2002, vol. 42, no. 3, str. 670-688. [COBISS-SI-ID 12027993]