Preskoči na glavno vsebino

Dinamični sistemi

2021/2022
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M1
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Kvalitativna analiza sistemov nelinearnih diferencialnih enačb. Osnovni izreki o eksistenci in enoličnosti rešitev za sisteme (ponovitev in dopolnitev).
Fazni portret avtonomnega sistema. Klasifikacija kritičnih točk, izrek Hartmana in Grobmana o linearizaciji, teorija stabilnosti, metoda Ljapunova.
Periodična gibanja in cikli v ravnini. Poincaré-Bendixsonova teorija (topološke osnove, izpeljava in uporaba), izrek Kolmogorova, Hopfova bifurkacija in nastanek ciklov, uvod v kaotično gibanje.
Osnove diskretne dinamike. Diferenčne enačbe. Logistična enačba. Klasifikacija fiksnih točk. Podvajanje period in kaos. Heteroklinične orbite in Smalova podkev. Polinomska iteracija v kompleksnem. Juliajeva in Fatoujeva množica. Mandelbrotova množica.
Uporaba v fiziki, medicini, biologiji, ekonomiji, elektrotehniki.

Temeljni literatura in viri

Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Volume 140, Amer. Math. Soc., Providence, 2012.
Boris Hasselblatt, Anatole Katok, A first course in dynamics : with a panorama of recent development, Cambridge University Press, 2003.
L. Perko: Differential equations and dynamical systems, 3rd edition, Springer, New York, 2001.
C. Robinson: Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamics and Chaos, CRC Press 1999.
D.K. Arrowsmith, C.M. Place: Dynamical Systems: Differential Equations, Maps and Chaotic Behaviour, Chapman & Hall, 1992.
D.W. Jordan, P. Smith: Nonlinear Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford 1977.

Cilji in kompetence

Študent se seznani z osnovnimi metodami, ki se uporabljajo pri obravnavi dinamičnih sistemov. Pri tem uporabi znanje iz linearne algebre, diferencialnih enačb in topologije. Spozna različne zglede modeliranja pojavov v medicini, ekonomiji, biologiji in fiziki.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje pojmov, kot so: dinamični sitem, stabilnost, periodično gibanje, bifurkacija in kaos.
Uporaba:
Formuliranje, modeliranje in reševanje raznih problemov iz medicine, biologije, fizike in ekonomije.
Refleksija:
Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe. Številni zgledi pomagajo spoznati vlogo matematike v naravoslovju in tehniki.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Identifikacija, formulacija in reševanje problemov iz drugih strok v matematičnem jeziku. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

izpit iz vaj (2 kolokvija ali pisni izpit)
Ustni izpit
Domače naloge
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Franc Forstnerič:
FORSTNERIČ, Franc. Actions of (R,+) and (C,+) on complex manifolds. Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874, 1996, let. 223, št. 1, str. 123-153. [COBISS-SI-ID 6928729]
FORSTNERIČ, Franc. Interpolation by holomorphic automorphisms and embeddings in C [sup] n. The Journal of geometric analysis, ISSN 1050-6926, 1999, let. 9, št. 1, str. 93-117. [COBISS-SI-ID 9452377]
FORSTNERIČ, Franc. Holomorphic families of long c [sup] 2's. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2012, vol. 140, no. 7, str. 2383-2389. [COBISS-SI-ID 16435289]
Jasna Prezelj:
FORSTNERIČ, Franc, PREZELJ-PERMAN, Jasna. Oka's principle for holomorphic submersions with sprays. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2002, band 322, heft 4, str. 633-666. [COBISS-SI-ID 11554649]
PREZELJ-PERMAN, Jasna. Interpolation of embeddings of Stein manifolds on discrete sets. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2003, band 326, heft 2, str. 275-296. [COBISS-SI-ID 12518489]
PREZELJ-PERMAN, Jasna. Weakly regular embeddings of Stein spaces with isolated singularities. Pacific journal of mathematics, ISSN 0030-8730, 2005, vol. 220, no. 1, str. 141-152. [COBISS-SI-ID 13910873]