Slučajni procesi 2

Pogojev za vključitev v delo ni.

Brownovo gibanje:
Osnovne lastnosti, obstoj, lastnosti trajektorij, naravna filtracija, čas prvega dotika, markovske lastnosti, krepka lastnost Markova, princip zrcaljenja, pridruženi procesi (proces tekočega supremuma, Brownov most itd.), kvadratična variacija.
Martingali v zveznem času:
Filtracije, časi ustavljanja, martingali, izreki o ostavljanju, enakomerna integrabilnost, maksimalne neenakosti, konvergenca martingalov.
Stohastični integral:
Stohastični integral glede na Brownovo gibanje, Itova izometrija, zvezni polmartingali, zvezni lokalni martingali, kvadratična variacija in kovariacija, stohastični integral glede na zvezne polmartingale, Itova formula, izrek Girsanova, izrek o reprezentaciji martingalov.

S. Resnick: Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser Boston, 2002.
I. Karatzas, S. E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition, Springer, 2005.
M. Yor, D. Revuz: Continuous Martingales and Stochastic Calculus, 2nd Edition, Springer, 2004
J. M. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer,
New York, 2001.

Predmet predstavlja uvod v teorijo slučajnih procesov v zveznem času z zveznimi trajektorijami. Rigorozno obravnava Brownovo gibanje kot osnovni primer in gradnik,vpelje martingale v zveznem času, Itôv stohastični račun in Itovo formulo.

Znanje in razumevanje: Matematična orodja za strogo obravnavo in uporabo slučajnih procesov.
Uporaba:
Osnova za modeliranje v mnogih vejah matematike in njene uporabe.
Refleksija:
Vsebina predmeta pomaga za nazaj poglobiti razumevanje konceptov verjetnosti, koncepta odvisnosti in časa.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Spretnosti so prenosljive na druga področja matematičnega modeliranja, še najbolj pa je predmet pomemben zaradi svoje neposredne uporabnosti pri finančnem modeliranju.

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Pisni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Mihael Perman:
PERMAN, Mihael, PITMAN, Jim, YOR, Marc. Size-biased sampling of Poisson processes and excursions. Probability theory and related fields, ISSN 0178-8051, 1992, 92, no. 1, str. 21-39. [COBISS-SI-ID 12236377]
PERMAN, Mihael, WELLNER, Jon A. On the distribution of Brownian areas. Annals of applied probability, ISSN 1050-5164, 1996, let. 6, št. 4, str. 1091-1111. [COBISS-SI-ID 7101017]
Janez Bernik:
BERNIK, Janez, MASTNAK, Mitja, RADJAVI, Heydar. Realizing irreducible semigroups and real algebras of compact operators. Journal of mathematical analysis and applications, ISSN 0022-247X. [Print ed.], 2008, vol. 348, no. 2, str. 692-707. [COBISS-SI-ID 14899289]
BERNIK, Janez, MASTNAK, Mitja, RADJAVI, Heydar. Positivity and matrix semigroups. Linear Algebra and its Applications, ISSN 0024-3795. [Print ed.], 2011, vol. 434, iss. 3, str. 801-812. [COBISS-SI-ID 15745625]
BERNIK, Janez, MARCOUX, Laurent W., RADJAVI, Heydar. Spectral conditions and band reducibility of operators. Journal of the London Mathematical Society, ISSN 0024-6107, 2012, vol. 86, no. 1, str. 214-234. [COBISS-SI-ID 16357721]