Diferencialna geometrija

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M3
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Obvezni del:
Uvod in osnovni pojmi: Vektorska polja in Liejev oklepaj. Temeljni pojmi teorije Liejevih grup in Liejevih algeber. Diferencialne forme. Vektorski svežnji in Riemannove strukture na njih.
Glavni svežnji, pridruženi svežnji, sveženj ogrodij, pojem redukcije svežnja.
Diferencialne forme z vrednostmi v Liejevih algebrah, povezave na glavnem svežnju. Horizontalni dvig poti. Ukrivljenost in holonomija. Različni opisi ukrivljenosti na glavnem svežnju.
Povezave na vektorskih svežnjih, kovariantni odvod. Chernovi razredi.
Temelji Riemannove geometrije: Riemannova metrika, Levi-Civitájeva povezava, Riemannov tenzor ukrivljenosti in njegove lastnosti, Riccijeva in Weylova ukrivljenost, avtoparalelnost, geodetske krivulje. Eksponentna preslikava.
Izbirni del:
Podgrupe grupe GL(n,C) in simetrični prostori. Gaussova ukrivljenost na ploskvah. Poissonove in simplektične mnogoterosti. Pontrjaginovi razredi in Bottov izrek. Konformnost in Weylov tenzor.

Temeljni literatura in viri

B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern Geometry - Methods and Applications II : The Geometry and Topology of Manifolds, Springer, New York, 1985.
S. Helgason: Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, AMS, Providence, 2001.
S. Kobayashi, K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, II, John Wiley & Sons, New York, 1996.
P. Petersen: Riemannian Geometry, Springer, New York, 1997.
J. Cheeger, D. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, AMS Chelsea Publishing, Providence, 2008

Cilji in kompetence

Študent se spozna s temelji sodobne diferencialne geometrije. Osnovna pojma tega predmeta sta povezava na glavnem ali na vektorskem svežnju in ukrivljenost povezave. Ukrivljenost je predstavljena skozi optiko Frobeniusovega izreka. Vpeljan je pojem holonomije, opisana je zveza med ukrivljenostjo in holonomijo. Te pojme uporabimo pri obravnavi temeljev Riemannove geometrije. Prek Chernovih razredov poudarimo povezavo s topologijo.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov in definicij iz diferencialne geometrije.
Uporaba: Uporaba teorije pri reševanju problemov.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnosti uporabe domače in tuje literature in drugih virov, identifikacija in reševanje problemov, kritična analiza.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Pisni izpit
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Janez Mrčun:
MRČUN, Janez. An extension of the Reeb stability theorem. Topology and its Applications, ISSN 0166-8641. [Print ed.], 1996, let. 70, št. 1, str. 25-55. [COBISS-SI-ID 7630169]
MOERDIJK, Ieke, MRČUN, Janez. On integrability of infinitesimal actions. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2002, vol. 124, no. 3, str. 567-593. [COBISS-SI-ID 11700057]
MOERDIJK, Ieke, MRČUN, Janez. Introduction to foliations and Lie groupoids, (Cambridge studies in advanced mathematics, 91). Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2003. IX, 173 str., ilustr. ISBN 0-521-83197-0. [COBISS-SI-ID 12683097]
Pavle Saksida:
SAKSIDA, Pavle. Nahm's equations and generalizations Neumann system. Proceedings of the London Mathematical Society, ISSN 0024-6115, 1999, let. 78, št. 3, str. 701-720. [COBISS-SI-ID 8853849]
SAKSIDA, Pavle. Integrable anharmonic oscillators on spheres and hyperbolic spaces. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2001, vol. 14, no. 5, str. 977-994. [COBISS-SI-ID 10942809]
SAKSIDA, Pavle. Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2006, vol. 19, no. 3, str. 747-768. [COBISS-SI-ID 13932377]
Sašo Strle:
STEFANOVSKA, Aneta, STRLE, Sašo, KROŠELJ, Peter. On the overestimation of the correlation dimension. Physics letters. Section A, ISSN 0375-9601. [Print ed.], 1997, vol. 235, str. 24-30. [COBISS-SI-ID 607828]
RUBERMAN, Daniel, STRLE, Sašo. Mod 2 Seiberg-Witten invariants of homology tori. Mathematical research letters, ISSN 1073-2780, 2000, vol. 7, no. 5-6, str. 789-799. [COBISS-SI-ID 10557785]
STRLE, Sašo. Bounds on genus and geometric intersections from cylindrical end moduli spaces. Journal of differential geometry, ISSN 0022-040X, 2003, vol. 65, no. 3, str. 469-511. [COBISS-SI-ID 13135193]