Kompleksna analiza

Pogojev za vključitev v delo ni.

Cauchyjeva integralska formula za holomorfne in neholomorfne funkcije. Rešitev nehomogene debar enačbe na ravninskih območjih s Cauchyjevim integralom.
Schwarzeva lema. Avtomorfizmi diska.
Konveksne funkcije. Hadamardov izrek o treh krožnicah. Phragmen-Lindelöfov izrek.
Kompaktnost in konvergenca v prostoru holomorfnih funkcij. Normalne družine. Montelov izrek. Hurwitzev izrek. Riemannov upodobitveni izrek.
Koebejev izrek. Blochov izrek. Izrek Landaua, Picardovi izreki. Schottkyjev izrek.
Konvergenca produktov. Weierstrassov faktorizacijski izrek. Rungejev izrek o aproksimaciji z racionalnimi funkcijami. Mittag-Lefflerjev izrek o konstrukciji funkcije z danimi glavnimi deli. Izrek o interpolaciji s holomorfno funkcijo na diskretni množici.
Schwarzev princip zrcaljenja. Analitično nadaljevanje vzdolž poti. Monodromijski izrek. Kompletna analitična funkcija. Snop zarodkov holomorfnih funkcij. Pojem Riemannove ploskve.
Druge možne vsebine: Harmonične in subharmonične funkcije. Poissonovo jedro in rešitev Dirichletovega problema na krogu. Lastnosti Poissonovega integrala in povezava s Cauchyjevim integralom. Mergelyanov izrek. Cele funkcije. Rast in red cele funkcije. Hadamardov izrek o faktorizaciji.

L. Ahlfors: Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1979.
C. A. Berenstein, R. Gay: Complex Analysis and Special Topics in Harmonic Analysis, Springer, New York, 1995.
J. B. Conway: Functions of One Complex Variable I, 2nd edition, Springer, New York-Berlin, 1995.
R. Narasimhan, Y. Nievergelt: Complex Analysis in One Variable, 2nd edition, Birkhäuser, Boston, 2001.
W. Rudin: Real and Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1987.
T. Gamelin: Complex analysis, Springer-Verlag, New York, 2001.

Slušatelj spozna nekatere vsebine teorije holomorfnih funkcij ene kompleksne spremenljivke. Pri tem uporabi znanje iz osnovne analize in topologije.
V okviru seminarskih/projektnih aktivnosti študentje z individualnim delom in predstavitvijo ter delom v skupinah pridobijo izobraževalno komunikacijske in socialne kompetence za prenos znanj in za vodenje (strokovnega skupinskega dela).

Znanje in razumevanje: Razumevanje nekaterih bistvenih pojmov in rezultatov teorije holomorfnih funkcij.
Uporaba: V ostalih delih matematične analize in geometrije, uporaba konformnih preslikav pri reševanju problemov iz fizike in mehanike.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Identifikacija, formulacija in reševanje matematičnih in nematematičnih problemov s pomočjo metod kompleksne analize. Spretnost uporabe domače in tuje literature. Privajanje na samostojno seminarsko predstavitev gradiva.

predavanja, vaje, seminar, domače naloge, konzultacije

Domače naloge, seminarska naloga.
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Miran Černe:
ČERNE, Miran, ZAJEC, Matej. Boundary differential relations for holomorphic functions on the disc. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2011, vol. 139, no. 2, str. 473-484. [COBISS-SI-ID 15710553]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Generalized Ahlfors functions. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 2007, vol. 359, no. 2, str. 671-686. [COBISS-SI-ID 14227801]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Quasilinear [overline{partial}]-equation on bordered Riemann surfaces. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2006, vol. 335, no. 2, str. 379-403. [COBISS-SI-ID 13970777]
Barbara Drinovec Drnovšek:
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara, FORSTNERIČ, Franc. The Poletsky-Rosay theorem on singular complex spaces. Indiana University mathematics journal, ISSN 0022-2518, 2012, vol. 61, no. 4, str. 1407-1423. [COBISS-SI-ID 16679257]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara, FORSTNERIČ, Franc. Holomorphic curves in complex spaces. Duke mathematical journal, ISSN 0012-7094, 2007, vol. 139, no. 2, str. 203-254. [COBISS-SI-ID 14351705]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. On proper discs in complex manifolds. Annales de l'Institut Fourier, ISSN 0373-0956, 2007, t. 57, fasc. 5, str. 1521-1535. [COBISS-SI-ID 14379865]
Franc Forstnerič:
FORSTNERIČ, Franc, WOLD, Erlend Fornæss. Embeddings of infinitely connected planar domains into C [sup] 2. Analysis & PDE, ISSN 2157-5045, 2013, vol. 6, no. 2, str. 499-514. [COBISS-SI-ID 16645209]
FORSTNERIČ, Franc. Runge approximation on convex sets implies the Oka property. Annals of mathematics, ISSN 0003-486X, 2006, vol. 163, no. 2, str. 689-707. [COBISS-SI-ID 13908825]
FORSTNERIČ, Franc. Noncritical holomorphic functions on Stein manifolds. Acta mathematica, ISSN 0001-5962, 2003, vol. 191, no. 2, str. 143-189. [COBISS-SI-ID 13138009]
Jasna Prezelj:
FORSTNERIČ, Franc, PREZELJ-PERMAN, Jasna. Oka's principle for holomorphic submersions with sprays. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2002, band 322, heft 4, str. 633-666. [COBISS-SI-ID 11554649]
PREZELJ-PERMAN, Jasna. Interpolation of embeddings of Stein manifolds on discrete sets. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2003, band 326, heft 2, str. 275-296. [COBISS-SI-ID 12518489]
PREZELJ-PERMAN, Jasna. Weakly regular embeddings of Stein spaces with isolated singularities. Pacific journal of mathematics, ISSN 0030-8730, 2005, vol. 220, no. 1, str. 141-152. [COBISS-SI-ID 13910873]