Numerično reševanje parcialnih diferencialnih enačb

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M4
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Parcialne diferencialne enačbe: Uvod v PDE in modelni problemi drugega reda.
Enačbe eliptičnega tipa: Poissonova enačba. Diferenčna metoda. Diskretni maksimalni princip in ocena globalne napake. Iterativno reševanje diskretiziranih enačb. Jacobijeva, Gauss-Seidelova in SOR metoda. Simetrična SOR metoda s pospešitvijo Čebiševa. ADI metoda. Metode podprostorov Krilova. Večmrežne metode. Variacijske metode. Različni tipi metod končnih elementov.
Enačbe paraboličnega tipa: Prevajanje toplote. Eksplicitne in implicitne numerične sheme. Crank-Nicolsonova metoda. Konsistenca, stabilnost in konvergenca.
Enačbe hiperboličnega tipa: Valovna enačba. Karakteristike, karakteristične spremenljivke. Diferenčna metoda. Courantov pogoj. Konvergenca diferenčnih aproksimacij za modelni primer. Metoda karakteristik.

Temeljni literatura in viri

J. Kozak: Numerična analiza, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2008.
W. F. Ames: Numerical Methods for Partial Differential Equations, 3rd edition, Academic Press, Boston, 1992.
Z. Bohte: Numerične metode, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1991.
S. D. Conte, C. de Boor: Elementary Numerical Analysis : An Algorithmic Approach, 3rd edition, McGraw-Hill, Auckland, 1986.
J. W. Demmel: Uporabna numerična linearna algebra, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2000.
E. Isaacson, H. B. Keller: Analysis of Numerical Methods, John Wiley & Sons, New York-London-Sydney, 1966.
D. R. Kincaid, E. W. Cheney: Numerical Analysis : Mathematics of Scientific Computing, 3rd edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2002.
K. W. Morton, D. F. Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations, 2nd edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005.
G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations : Finite Differences Methods, 3rd edition, Clarendon Press, Oxford (New York), 2004.

Cilji in kompetence

Slušatelj spozna metode za numerično reševanje parcialnih enačb. Pridobljeno znanje praktično utrdi z reševanjem domačih nalog.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje delovanja metod za numerično reševanje parcialnih diferencialnih enačb. Sposobnost numeričnega reševanja parcialnih diferencialnih enačb s pomočjo računalnika. Sposobnost izbire najprimernejšega algoritma glede na lastnosti problema.
Uporaba: Numerično reševanje parcialnih diferencialnih enačb s pomočjo računalnika in ocenjevanje napak na podlagi teorije. V praksi (fizika, mehanika, kemija, ekonomija ...) se pogosto pojavljajo parcialne diferencialne enačbe, ki jih ni mogoče rešiti drugače kot numerično. Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnost uporabe računalnika pri reševanju matematičnih problemov. Razumevanje razlik med eksaktnim in numeričnim računanjem. Predmet konstruktivno nadgrajuje zahtevnejša znanja analize in drugih področij matematike.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije, projekt.

Načini ocenjevanja

Način (domače naloge, pisni izpit, ustno izpraševanje, naloge, projekt):

domače naloge ali projekt
pisni izpit
ustni izpit

Ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Reference nosilca

Marjetka Krajnc:
JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, KRAJNC, Marjetka, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil. High order parametric polynomial approximation of conic sections. Constructive approximation, ISSN 0176-4276, 2013, vol. 38, iss. 1, str. 1-18. [COBISS-SI-ID 16716121]
KRAJNC, Marjetka. Interpolation scheme for planar cubic G [sup] 2 spline curves. Acta applicandae mathematicae, ISSN 0167-8019, 2011, vol. 113, no. 2, str. 129-143. [COBISS-SI-ID 16215385]
KRAJNC, Marjetka. Geometric Hermite interpolation by cubic G[sup]1 splines. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, ISSN 0362-546X. [Print ed.], 2009, vol. 70, iss. 7, str. 2614-2626. [COBISS-SI-ID 15508569]
Emil Žagar:
JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil. Lagrange geometric interpolation by rational spatial cubic Bézier curves. Computer Aided Geometric Design, ISSN 0167-8396, 2012, vol. 29, iss. 3-4, str. 175-188. [COBISS-SI-ID 16207449]
KOZAK, Jernej, ŽAGAR, Emil. On geometric interpolation by polynomial curves. SIAM journal on numerical analysis, ISSN 0036-1429, 2004, vol. 42, no. 3, str. 953-967. [COBISS-SI-ID 13398617]
ŽAGAR, Emil. On G [sup] 2 continuous spline interpolation of curves in R [sup] d. BIT, ISSN 0006-3835, 2002, vol. 42, no. 3, str. 670-688. [COBISS-SI-ID 12027993]