Slučajni procesi 2

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M5
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Brownovo gibanje:
Osnovne lastnosti, obstoj, lastnosti trajektorij, naravna filtracija, čas prvega dotika, markovske lastnosti, krepka lastnost Markova, princip zrcaljenja, pridruženi procesi (proces tekočega supremuma, Brownov most itd.), kvadratična variacija.
Martingali v zveznem času:
Filtracije, časi ustavljanja, martingali, izreki o ostavljanju, enakomerna integrabilnost, maksimalne neenakosti, konvergenca martingalov.
Stohastični integral:
Stohastični integral glede na Brownovo gibanje, Itova izometrija, zvezni polmartingali, zvezni lokalni martingali, kvadratična variacija in kovariacija, stohastični integral glede na zvezne polmartingale, Itova formula, izrek Girsanova, izrek o reprezentaciji martingalov.

Temeljni literatura in viri

S. Resnick: Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser Boston, 2002.
I. Karatzas, S. E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition, Springer, 2005.
M. Yor, D. Revuz: Continuous Martingales and Stochastic Calculus, 2nd Edition, Springer, 2004
J. M. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer,
New York, 2001.

Cilji in kompetence

Predmet predstavlja uvod v teorijo slučajnih procesov v zveznem času z zveznimi trajektorijami. Rigorozno obravnava Brownovo gibanje kot osnovni primer in gradnik,vpelje martingale v zveznem času, Itôv stohastični račun in Itovo formulo.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Matematična orodja za strogo obravnavo in uporabo slučajnih procesov.
Uporaba:
Osnova za modeliranje v mnogih vejah matematike in njene uporabe.
Refleksija:
Vsebina predmeta pomaga za nazaj poglobiti razumevanje konceptov verjetnosti, koncepta odvisnosti in časa.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Spretnosti so prenosljive na druga področja matematičnega modeliranja, še najbolj pa je predmet pomemben zaradi svoje neposredne uporabnosti pri finančnem modeliranju.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Pisni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Mihael Perman:
PERMAN, Mihael, PITMAN, Jim, YOR, Marc. Size-biased sampling of Poisson processes and excursions. Probability theory and related fields, ISSN 0178-8051, 1992, 92, no. 1, str. 21-39. [COBISS-SI-ID 12236377]
PERMAN, Mihael, WELLNER, Jon A. On the distribution of Brownian areas. Annals of applied probability, ISSN 1050-5164, 1996, let. 6, št. 4, str. 1091-1111. [COBISS-SI-ID 7101017]
Janez Bernik:
BERNIK, Janez, MASTNAK, Mitja, RADJAVI, Heydar. Realizing irreducible semigroups and real algebras of compact operators. Journal of mathematical analysis and applications, ISSN 0022-247X. [Print ed.], 2008, vol. 348, no. 2, str. 692-707. [COBISS-SI-ID 14899289]
BERNIK, Janez, MASTNAK, Mitja, RADJAVI, Heydar. Positivity and matrix semigroups. Linear Algebra and its Applications, ISSN 0024-3795. [Print ed.], 2011, vol. 434, iss. 3, str. 801-812. [COBISS-SI-ID 15745625]
BERNIK, Janez, MARCOUX, Laurent W., RADJAVI, Heydar. Spectral conditions and band reducibility of operators. Journal of the London Mathematical Society, ISSN 0024-6107, 2012, vol. 86, no. 1, str. 214-234. [COBISS-SI-ID 16357721]