Teorija grup in polgrup

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M2
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

I. Teorija polgrup
Osnovni pojmi teorije polgrup, primeri polgrup.
Greenove relacije.
Regularne polgrupe, polgrupe z obrati.
Enostavne polgrupe, povsem enostavne polgrupe.
II. Teorija grup
Ponovitev osnovnih pojmov teorije grup.
Kompozicijska vrsta in Jordan-Hölderjev izrek. Rešljive grupe. Hallov izrek za rešljive grupe. Nilpotentne grupe, p-grupe.
Razcepne in nerazcepne razširitve grup, semidirektni produkt grup, Schur-Zassenhausov izrek.
Končne enostavne grupe in problem njihove klasifikacije. Klasične grupe (splošne linearne, simplektične, unitarne in ortogonalne) ter pripadajoče enostavne grupe.
Osnove teorije upodobitev končnih grup. Teorija karakterjev.

Temeljni literatura in viri

J. M. Howie: Fundamentals of semigroup theory, Oxford University Press, Oxford, 1995.
P. M. Higgins: Techniques of semigroup theory, Oxford University Press, Oxford, 1992.
J. J. Rotman: An introduction to the theory of groups, 4. izd., Springer New York 1995.
D. J. S. Robinson: A course in the theory of groups, 2. izd., Springer New York, 1996.

Cilji in kompetence

Študent spozna osnovne pojme iz teorije polgrup in grup ter njihovo povezanost z drugimi področji matematike.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje:
Poznavanje osnovnih pojmov in izrekov teorije polgrup in grup in njihovo prepoznavanje v drugih vejah matematike.
Uporaba:
Teorija polgrup in grup spada med temeljne matematične predmete. Uči nas prepoznavati simetrije v naravi. Uporablja se zlasti v fiziki in kemiji (na primer kristalografija). Znotraj matematike je uporabna v geometriji, asociativni algebri, funkcionalni analizi in teoriji števil.
Refleksija:
Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Formulacija problemov v primernem jeziku, reševanje in analiza doseženega na primerih, prepoznavanje grup v geometriji in analizi.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Izpit iz vaj (2 kolokvija ali pisni izpit)
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Jaka Cimprič:
CIMPRIČ, Jaka. Real spectra of quantum groups. Journal of algebra, ISSN 0021-8693, 2004, vol. 277, no. 1, str. 282-297. [COBISS-SI-ID 13108569]
CIMPRIČ, Jaka. Preorderings on semigroups and semirings of right quotients. Semigroup forum, ISSN 0037-1912, 2000, vol. 60, no. 3, str. 396-404. [COBISS-SI-ID 9568857]
CIMPRIČ, Jaka. On homomorphisms from semigroups onto cyclic groups. Semigroup forum, ISSN 0037-1912, 1999, let. 59, št. 2, str. 183-189. [COBISS-SI-ID 8951641]
Tomaž Košir:
KOŠIR, Tomaž, OMLADIČ, Matjaž, RADJAVI, Heydar. Maximal semigroups dominated by 0-1 matrices. Semigroup forum, ISSN 0037-1912, 1997, let. 54, št. 2, str. 175-189. [COBISS-SI-ID 7306329]
GRUNENFELDER, Luzius, KOŠIR, Tomaž, OMLADIČ, Matjaž, RADJAVI, Heydar. On groups generated by elements of prime order. Geometriae dedicata, ISSN 0046-5755, 1999, let. 75, št. 3, str. 317-332. [COBISS-SI-ID 8849241]
BERNIK, Janez, DRNOVŠEK, Roman, KOŠIR, Tomaž, OMLADIČ, Matjaž, RADJAVI, Heydar. Irreducible semigroups of matrices with eigenvalue one. Semigroup forum, ISSN 0037-1912, 2003, vol. 67, no. 2, str. 271-287. [COBISS-SI-ID 12583257]
Primož Moravec:
MORAVEC, Primož. Unramified Brauer groups of finite and infinite groups. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2012, vol. 134, no. 6, str. 1679-1704. [COBISS-SI-ID 16521305]
MORAVEC, Primož. On the Schur multipliers of finite p-groups of given coclass. Israel journal of mathematics, ISSN 0021-2172, 2011, vol. 185, no. 1, str. 189-205. [COBISS-SI-ID 16311129]
MORAVEC, Primož. Completely simple semigroups with nilpotent structure groups. Semigroup forum, ISSN 0037-1912, 2008, vol. 77, no. 2, str. 316-324. [COBISS-SI-ID 14768473]
Primož Potočnik:
POTOČNIK, Primož. Edge-colourings of cubic graphs admitting a solvable vertex-transitive group of automorphisms. Journal of combinatorial theory. Series B, ISSN 0095-8956, 2004, vol. 91, no. 2, str. 289-300. [COBISS-SI-ID 13087321]
MALNIČ, Aleksander, MARUŠIČ, Dragan, POTOČNIK, Primož. On cubic graphs admitting an edge-transitive solvable group. Journal of algebraic combinatorics, ISSN 0925-9899, 2004, vol. 20, no. 1, str. 99-113. [COBISS-SI-ID 13267033]
POTOČNIK, Primož. B-groups of order a product of two distinct primes. Mathematica slovaca, ISSN 0139-9918, 2001, vol. 51, no. 1, str. 63-67. [COBISS-SI-ID 10617433]