Teorija operatorjev

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M1
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Izvajalec (kontaktna oseba):
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

• Kompaktni operatorji na Banachovih prostorih, rast in padec operatorja, Rieszov razcep in spektralna teorija kompaktnih operatorjev
• Invariantni podprostori, Schauderjev izrek o negibni točki, izrek Lomonosova in posledice, trikotljivost kompaktnih operatorjev
• Fredholmovi operatorji in njihov indeks, izrek o indeksu, Atkinsonova izreka o perturbaciji, Calkinova algebra in bistveni spekter, polinomsko kompaktni operatorji
• Banachove algebre, Rieszov funkcijski račun, odvisnost spektra od podalgebre, izolirane točke spektra in razvoj resolvente v Laurentovo vrsto, bistveni spekter in Rieszovi operatorji, bistveni spektralni radij
• Dodatno: Strogo singularni operatorji, primer strogo singularnega nekompaktnega operatorja, Katova karakterizacija strogo singularnih operatorjev, spektralna teorija strogo singularnih operatorjev
• Dodatno: Schauderjeva baza Banachovega prostora in bazična zaporedja, primeri prostorov s Schauderjevo bazo, klasični prostori zaporedij, aproksimacijska lastnost Banachovih prostorov, gostost operatorjev končnega ranga med kompaktnimi operatorji

Temeljni literatura in viri

• Y. A. Abramovich, C. D. Aliprantis: An invitation to operator theory. Graduate Studies in Mathematics 50, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.
• Y. A. Abramovich, C. D. Aliprantis: Problems in operator theory. Graduate Studies in Mathematics 51, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.
• F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics 233, Springer, New York, 2006.
• J. B. Conway: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer, New York, 1990.
• I. Gohberg, S. Goldberg, M. A. Kaashoek: Classes of Linear Operators I, Birkhäuser, Basel, 1990.
• G. K. Pedersen: Analysis Now, Springer, New York, 1996.
• H. Radjavi, P. Rosenthal: Simultaneous triangularization, Universitext, Springer-Verlag, New York, 2000.
• I. Vidav: Linearni operatorji v Banachovih prostorih, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1982.

Cilji in kompetence

Obravnava nekaterih razredov omejenih linearnih operatorjev na Hilbertovih in Banachovih prostorih.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Poznavanje osnovnih razredov linearnih operatorjev, sposobnost aplikacije pridobljenega znanja.
Uporaba: Uporaba teorije operatorjev sega tudi v naravoslovje in druga področja znanosti kot na primer ekonomijo.
Refleksija: Razumevanje teorije, utrjeno s primeri uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Identifikacija in reševanje problemov. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Domače naloge in teoretični izpit

Reference nosilca

Roman Drnovšek:
DRNOVŠEK, Roman. Common invariant subspaces for collections of operators. Integral equations and operator theory, ISSN 0378-620X, 2001, vol. 39, no. 3, str. 253-266. [COBISS-SI-ID 10597721]
DRNOVŠEK, Roman. A generalization of Levinger's theorem to positive kernel operators. Glasgow mathematical journal, ISSN 0017-0895, 2003, vol. 45, part 3, str. 545-555. [COBISS-SI-ID 12825945]
DRNOVŠEK, Roman. Invariant subspaces for operator semigroups with commutators of rank at most one. Journal of functional analysis, ISSN 0022-1236, 2009, vol. 256, iss. 12, str. 4187-4196. [COBISS-SI-ID 15167321]
Peter Šemrl:
ŠEMRL, Peter. Similarity preserving linear maps. Journal of operator theory, ISSN 0379-4024, 2008, vol. 60, no. 1, str. 71-83. [COBISS-SI-ID 15079257]
ŠEMRL, Peter. Local automorphisms of standard operator algebras. Journal of mathematical analysis and applications, ISSN 0022-247X. [Print ed.], 2010, vol. 371, iss. 2, str. 403-406. [COBISS-SI-ID 15672665]
ŠEMRL, Peter. Symmetries on bounded observables: a unified approach based on adjacency preserving maps. Integral equations and operator theory, ISSN 0378-620X, 2012, vol. 72, iss. 1, str. 7-66. [COBISS-SI-ID 16568665]
Marko Kandić:
KANDIĆ, Marko. On algebras of polynomially compact operators. Linear and Multilinear Algebra, ISSN 0308-1087, 2016, vol. 64, no. 6, str. 1185-1196. [COBISS-SI-ID 17493337]
KANDIĆ, Marko. Ideal-triangularizability of nil-algebras generated by positive operators. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2011, vol. 139, no. 2, str. 485-490. [COBISS-SI-ID 15710809]
DRNOVŠEK, Roman, KANDIĆ, Marko. Positive operators as commutators of positive operators. Studia Mathematica, ISSN 0039-3223, 2019, tom 245, str. 185-200. [COBISS-SI-ID 18407769]