Preskoči na glavno vsebino

Riemannove ploskve

2023/2024
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M3
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Definicija Riemannove ploskve. Osnovni primeri. Holomorfne in meromorfne funkcije in preslikave. Topologija Riemannovih ploskev. Krovni prostori in krovne transformacije. Analitično nadaljevanje. Algebraične funkcije. Integracija na Riemannovih ploskvah. Riemannove ploskve kot kompleksne krivulje. Osnovni pojmi teorije snopov.
Konstrukcija meromorfnih funkcij z L2-metodo. Weylova lema. Hilbertov prostor kvadratno integrabilnih form. Meromorfne funkcije in diferenciali. Harmonični in analitični diferenciali. Bilinearne relacije. Divizorji in holomorfni vektorski svežnji. Riemannov-Rochov izrek in uporaba.
Možne dodatne vsebine:
Odprte Riemannove ploskve. Dirichletov problem. Rungejev aproksimacijski izrek. Mittag-Lefflerjev in Weierstrassov izrek. Riemann-Koebejev uniformizacijski izrek. Riemann-Hilbertov robni problem. Serrejev izrek o dualnosti. Abelov izrek in uporabe. Jacobijev inverzni problem. Kompleksni torusi. Eliptične funkcije. Weierstrassova funkcija.

Temeljni literatura in viri

H. M. Farkas, I. Kra: Riemann Surfaces, 2nd edition, Springer, New York, 1992.
O. Forster: Lectures on Riemann Surfaces, Springer, New York, 1999.
F. Kirwan: Complex Algebraic Curves, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992.
B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern Geometry - Methods and Applications III : Introduction to Homology Theory, Springer, New York, 1990.
D. Varolin: Riemann surfaces by way of complex analytic geometry. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011.

Cilji in kompetence

Slušatelj se seznani z osnovami teorije Riemannovih ploskev in njihovo povezavo s sorodnimi področji matematike kot so kompleksna analiza in algebraična geometrija. Pri tem uporabi znanje iz osnovne analize, algebre in topologije.
V okviru seminarskih/projektnih aktivnosti študentje z individualnim delom in predstavitvijo ter delom v skupinah pridobijo izobraževalno komunikacijske in socialne kompetence za prenos znanj in za vodenje (strokovnega skupinskega dela).

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje:
Spoznanje in razumevanje nekaterih bistvenih osnovnih pojmov teorije Riemannovih ploskev.
Uporaba: Riemannove ploskve so pojavljajo v vrsti matematični področij (analitična in algebraična geometrija, diferencialna geometrija, simplektična geometrija), nepogrešljive pa so tudi v mnogih vejah fizike (npr. teorija strun) in širše znanosti. Eliptične krivulje so bistvenega pomena v kriptografiji.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov. Razvoj sposobnosti uporabe teorije v različnih znanstvenih problemih.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Identifikacija, formulacija in reševanje problemov s pomočjo metod teorije Riemannovih ploskev. Spretnost uporabe domače in tuje literature. Privajanje na samostojno seminarsko predstavitev gradiva.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, seminarji, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Domače naloge, seminarska naloga.
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Miran Černe:
ČERNE, Miran. Nonlinear Riemann-Hilbert problem for bordered Riemann surfaces. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2004, vol. 126, no. 1, str. 65-87. [COBISS-SI-ID 12895577]
ČERNE, Miran, FORSTNERIČ, Franc. Embedding some bordered Riemann surfaces in the affine plane. Mathematical research letters, ISSN 1073-2780, 2002, vol. 9, no. 5-6, str. 683-696. [COBISS-SI-ID 12391257]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Quasilinear [overline{partial}]-equation on bordered Riemann surfaces. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2006, vol. 335, no. 2, str. 379-403. [COBISS-SI-ID 13970777]
Barbara Drinovec Drnovšek:
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. Discs in Stein manifolds containing given discrete sets. Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874, 2002, vol. 239, no. 4, str. 683-702. [COBISS-SI-ID 11567449]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. Proper discs in Stein manifolds avoiding complete pluripolar sets. Mathematical research letters, ISSN 1073-2780, 2004, vol. 11, no. 5-6, str. 575-581. [COBISS-SI-ID 13311065]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara, FORSTNERIČ, Franc. Holomorphic curves in complex spaces. Duke mathematical journal, ISSN 0012-7094, 2007, vol. 139, no. 2, str. 203-254. [COBISS-SI-ID 14351705]
Franc Forstnerič:
FORSTNERIČ, Franc. Runge approximation on convex sets implies the Oka property. Annals of mathematics, ISSN 0003-486X, 2006, vol. 163, no. 2, str. 689-707. [COBISS-SI-ID 13908825]
FORSTNERIČ, Franc, WOLD, Erlend Fornæss. Bordered Riemann surfaces in C [sup] 2. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, ISSN 0021-7824. [Print ed.], 2009, vol. 91, issue 1, str. 100-114. [COBISS-SI-ID 15395417]
FORSTNERIČ, Franc, WOLD, Erlend Fornæss. Embeddings of infinitely connected planar domains into C [sup] 2. Analysis & PDE, ISSN 2157-5045, 2013, vol. 6, no. 2, str. 499-514. [COBISS-SI-ID 16645209]
Pavle Saksida:
SAKSIDA, Pavle. Maxwell-Bloch equations, C Neumann system and Kaluza-Klein theory. Journal of physics. A, Mathematical and general, ISSN 0305-4470, 2005, vol. 38, no. 48, str. 10321-10344. [COBISS-SI-ID 13802073]
SAKSIDA, Pavle. Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2006, vol. 19, no. 3, str. 747-768. [COBISS-SI-ID 13932377]
SAKSIDA, Pavle. Integrable anharmonic oscillators on spheres and hyperbolic spaces. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2001, vol. 14, no. 5, str. 977-994. [COBISS-SI-ID 10942809]