Preskoči na glavno vsebino

Specialne funkcije

2023/2024
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M1
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Osnovni pojmi Liejeve teorije, predstavljeni na primerih matričnih grup in algeber. Osnovni pojmi teorije upodobitev kompaktnih Liejevih grup. Upodobitve grupe SU(2).
Splošni pojem specialne funkcije na kompaktni Liejevi grupi. Karakteristične funkcije upodobitev. Ortogonalnostne relacije. Peter-Weylov izrek.
Sferne funkcije kot reprezentacijske funkcije, pripadajoče upodobitvam grupe SU(2). Legendrovi polinomi in njihove lastnosti.
Laplaceov operator v različnih koordinatah. Laplaceova enačba in sferne funkcije. Besselove funkcije.
Diferencialne enačbe v kompleksnem. Riemannova in hipergeometrična enačba. Hipergeometrična funkcija. Zveza med hipergeometrično funkcijo in sfernimi funkcijami.
Linearni diferencialni operatorji. Posplošene Fouriereve vrste in pojem šibke rešitve. Diferencialni operatorji drugega reda in sistemi njihovih lastnih vektorjev.

Temeljni literatura in viri

J. Dieudonné: Special Functions and Linear Representations of Lie Groups, AMS, Providence, 1979.
T. Bröcker, T. T. Dieck: Representations of Compact Lie Groups, Springer, New York, 1985.
E. Zakrajšek: Analiza III, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2002.
F. Križanič: Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun, DZS, Ljubljana, 1974.
S. Helgason: Invariant Differential Operators and Eigenvalue Representations, v Representation Theory of Lie Groups, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1980.

Cilji in kompetence

Študent spozna na poenoten način nekatere pomembne razrede specialnih funkcij. Seznani se z nekaterimi pomembnimi uporabami teh funkcij v matematiki in fiziki. Predstavljena je povezava teorije specialnih funkcij s tremi matematičnimi področji: s teorijo upodobitev Liejevih grup, s parcialnimi diferencialnimi enačbami in s teorijo linearnih diferencialnih operatorjev. Opisane so tudi osnove teorije diferencialnih enačb v kompleksnem s poudarkom na hipergeometrični enačbi in hipergeometrični funkciji.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Poznavanje najpomembnejših razredov specialnih funkcij in njihovih lastnosti. Poznavanje najpomembnejših uporab teh funkcij. Na primeru specialnih funkcij študent vidi enotnost matematike, oziroma tesno povezanost različnih matematičnih področij. Poudarjena je pomembnost pojma simetrije v teoriji diferencialnih enačb.
Uporaba: Reševanje nekaterih težjih matematičnih in fizikalnih problemov, katerih rešitve niso izrazljive z elementarnimi funkcijami.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe. Razumevanje povezav med različnimi področji matematike na konkretnem primeru.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Sposobnost uporabe širokega spektra različnih funkcij in z njimi poveznih diferencialnih enačb pri reševanju matematičnih in nematematičnih problemov. Študentovo znanje sega izven relativno omejenega sveta elementarnih funkcij.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, seminarski projekti, domače naloge, konzultacije.

Načini ocenjevanja

Seminarski projekt
Pisni izpit
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Miran Černe:
ČERNE, Miran, ZAJEC, Matej. Boundary differential relations for holomorphic functions on the disc. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2011, vol. 139, no. 2, str. 473-484. [COBISS-SI-ID 15710553]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Generalized Ahlfors functions. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 2007, vol. 359, no. 2, str. 671-686. [COBISS-SI-ID 14227801]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Quasilinear [overline{partial}]-equation on bordered Riemann surfaces. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2006, vol. 335, no. 2, str. 379-403. [COBISS-SI-ID 13970777]
Janez Mrčun:
MRČUN, Janez. Functoriality of the bimodule associated to a Hilsum-Skandalis map. K-theory, ISSN 0920-3036, 1999, let. 18, št. 3, str. 235-253. [COBISS-SI-ID 9163353]
MOERDIJK, Ieke, MRČUN, Janez. Introduction to foliations and Lie groupoids, (Cambridge studies in advanced mathematics, 91). Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2003. IX, 173 str., ilustr. ISBN 0-521-83197-0. [COBISS-SI-ID 12683097]
MOERDIJK, Ieke, MRČUN, Janez. Lie groupoids, sheaves and cohomology. V: EuroSchool PQR2003 on Poisson geometry, deformation quantisation and group representations, Université Libre de Bruxelles, June 13-17, 2003. GUTT, Simone (ur.), RAWNSLEY, John Howard (ur.), STERNHEIMER, Daniel (ur.). Poisson geometry, deformation quantisation and group representations, (London Mathematical Society lecture note series, ISSN 0076-0552, 323). Cambridge [etc.]: Cambridge University Press, cop. 2005, str. 147-272. [COBISS-SI-ID 13657689]
Pavle Saksida:
SAKSIDA, Pavle. Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2006, vol. 19, no. 3, str. 747-768. [COBISS-SI-ID 13932377]
SAKSIDA, Pavle. Integrable anharmonic oscillators on spheres and hyperbolic spaces. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2001, vol. 14, no. 5, str. 977-994. [COBISS-SI-ID 10942809]
SAKSIDA, Pavle. On zero-curvature condition and Fourier analysis. Journal of physics. A, Mathematical and theoretical, ISSN 1751-8113, 2011, vol. 44, no. 8, 085203 (19 str.). [COBISS-SI-ID 15909465]