Izbrana poglavja iz topologije

Predavatelj izbere nekatere pomembne teme s področja topologije, kot so na primer:
Vozli in spleti: Osnovni primeri invariant. Vozli in ploskve, Seifertova forma. Povezana vsota in razcep na pravozle. Polinomske invariante: Alexandrov in Jonesov polinom. Homologija Hovanova. Grupa kit. Mrežna homologija.
3- in 4-mnogoterosti: Konstrukcije: dekompozicija na ročaje, kirurgija, Heegaardov razcep in krovni prostori. Cassonova in Rohlinova invarianta. Fundamentalna grupa in njene upodobitve. Osnove Seiberg-Wittnove teorije in Heegaard-Floerove homologije.
Topologija gladkih mnogoterosti: Morsova teorija. Diferencialne forme in De Rhamova kohomologija. Hodgeva teorija. Kontaktne in simplektične strukture na mnogoterostih.
Diskretna Morsova teorija: Simplicialni kompleksi in simplicialne preslikave: abstraktni simplicialni kompleksi, geometrijska realizacija, subdivizija, simplicialna aproksimacija. Deformacije in kolapsi. Diskretna Morsova funkcija, gradientno vektorsko polje, Morsov verižni kompleks in Morsova homologija, diskretne Morsove neenakosti. Računski algoritmi in implementacija.
Topološka robotika: Prostor stanj in prostor leg robotske naprave, načrt gibanja in upravljanja. Pojem topološke kompleksnosti načrtovanja gibanja in upravljanja robotske naprave, zgornje in spodnje meje za topološko kompleksnost.
Vztrajna homologija: Filtracije prostorov, vztrajnostni kompleks in njegova homologija, izreki o stabilnosti.
Topološke metode v teoriji grup: Končnostne lastnosti grup. Kohomologija neskončnih grup. Homotopska teorija grup. PL Morsova teorija.
Karakteristični razredi vektorskih svežnjev: Kohomološki kolobar gladke mnogoterosti in vektorski sveženj nad gladko mnogoterostjo. Stiefel-Whitneyjevi karakteristični razredi. Orientabilnost svežnja, Thomov izrek. Kompleksifikacija svežnja, Chernovi razredi in Pontrjaginovi razredi.

1. H. Edelsbrunner, J. L. Harer: Computational topology : an introduction, Providence : American Mathematical Society, cop. 2010.
2. M. Farber: Invitation to topological robotics, Zürich : European Mathematical Society Publishing House, cop. 2008.
3. R. Geoghegan: Topological methods in group theory, New York : Springer, cop. 2008.
4. R. E. Gompf, A. I. Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus, Providence : American Mathematical Society, cop. 1999.
5. M. W. Hirsch: Differential topology, New York ; Heidelberg ; Berlin : Springer, 1976.
6. D. Husemoller: Fibre bundles, 3rd ed., New York : Springer, cop. 1994.
7. L. H. Kauffman: On knots, Princeton : Princeton Univ. Press, 1987.
8. J. W. Milnor, J. D. Stasheff: Characteristic classes, Princeton : Princeton University Press ; Tokyo : Univ. of Tokyo Press, cop. 1974.
9. L. Nicolaescu, Lectures on the geometry of manifolds, World Scientific Publishing Co., 2021, dostopno na: https://www3.nd.edu/~lnicolae/Lectures.pdf
10. D. Rolfsen: Knots and links, Berkeley : Publish or perish, 1976.
11. N. Saveliev: Lectures on the topology of 3-manifolds, An introduction to the Casson invariant, De Gruyter, 2012.
12. N. A. Scoville: Discrete Morse theory, Providence : American Mathematical Society, cop. 2019.

Cilji in kompetence predmeta sovpadajo s cilji in kompetencami študijskega programa.

Študent spozna eno ali več pomembnih oziroma zahtevnejših tem iz topologije do te mere, da se na relevantnem področju lahko začne seznanjati z raziskovalnimi problemi.

Predavanja, diskusija, vaje, domače naloge.

Izpit iz teorije, izpit iz vaj, domače naloge.

Petar Pavešić:
GOVC, Dejan, MARZANTOWICZ, Wacław, PAVEŠIĆ, Petar. Estimates of covering type and the number of vertices of minimal triangulations. Discrete & computational geometry. Jan. 2020, vol. 63, iss. 1, str. 31-48. [COBISS-SI-ID 18627417]
PAVEŠIĆ, Petar. Topological complexity of a map. Homology, homotopy, and applications. Jan. 2019, vol. 21, no. 2, str. 107-130. [COBISS-SI-ID 18590297]
PAVEŠIĆ, Petar. Triangulations with few vertices of manifolds with non-free fundamental group. Proceedings. Section A, Mathematics. Dec. 2019, vol. 149, iss. 6, str. 1453-1463. [COBISS-SI-ID 18671705]
Jaka Smrekar:
SMREKAR, Jaka. Rational Reidemeister trace of an outer automorphism of finite order. Journal of Pure and Applied Algebra. July 2023, vol. 227, iss. 7, art. 107350 (13 str.). ISSN 0022-4049. [COBISS-SI-ID 141555715]
SMREKAR, Jaka. Gottlieb’s theorem for a periodic equivalence. Journal of fixed point theory and its applications. Dec. 2022, vol. 24, iss. 4, art. 73 (15 str.). ISSN 1661-7738. [COBISS-SI-ID 125772547]
FORSTNERIČ, Franc, SMREKAR, Jaka, SUKHOV, Alexandre. On the Hodge conjecture for q-complete manifolds. Geometry & topology. 2016, vol. 20, no. 1, str. 353-388. ISSN 1465-3060. [COBISS-SI-ID 17622361]
Sašo Strle:
RUBERMAN, Daniel, SLAPAR, Marko, STRLE, Sašo. On the Thom conjecture in CP^3. International mathematics research notices, ISSN 1687-0247, 2021, vol. 2022, 1 spletni vir (1 datoteka pdf (14 str.)). [COBISS-SI-ID 89922563]
LEVINE, Adam Simon, RUBERMAN, Daniel, STRLE, Sašo, GESSEL, Ira M. Nonorientable surfaces in homology cobordisms. Geometry & topology, ISSN 1465-3060, 2015, vol. 19, no. 1, str. 439-494. [COBISS-SI-ID 17557337]
OWENS, Brendan, STRLE, Sašo. Dehn surgeries and negative-definite four-manifolds. Selecta mathematica, New series, ISSN 1022-1824, 2012, vol. 18, iss. 4, str. 839-854. [COBISS-SI-ID 16808025]