Preskoči na glavno vsebino

Dinamični sistemi

2024/2025
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M1
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Izvajalec (kontaktna oseba):
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Kvalitativna analiza sistemov nelinearnih diferencialnih enačb. Osnovni izreki o eksistenci in enoličnosti rešitev za sisteme (ponovitev in dopolnitev).
Fazni portret avtonomnega sistema. Klasifikacija kritičnih točk, izrek Hartmana in Grobmana o linearizaciji, teorija stabilnosti, metoda Ljapunova.
Periodična gibanja in cikli v ravnini. Poincaré-Bendixsonova teorija (topološke osnove, izpeljava in uporaba), izrek Kolmogorova, Hopfova bifurkacija in nastanek ciklov, uvod v kaotično gibanje.
Osnove diskretne dinamike. Diferenčne enačbe. Logistična enačba. Klasifikacija fiksnih točk. Podvajanje period in kaos. Heteroklinične orbite in Smalova podkev. Polinomska iteracija v kompleksnem. Juliajeva in Fatoujeva množica. Mandelbrotova množica.
Uporaba v fiziki, medicini, biologiji, ekonomiji, elektrotehniki.

Temeljni literatura in viri
  1. D. K. Arrowsmith, C. M. Place: Dynamical systems : differential equations, maps and chaotic behaviour, Boca Raton : Chapman & Hall/CRC, cop. 1992.
  2. B. Hasselblatt, A. Katok: A first course in dynamics : with a panorama of recent developments, Cambridge : Cambridge University Press, 2003.
  3. D. W. Jordan, P. Smith: Nonlinear ordinary differential equations, Oxford : Clarendon press, 1977.
  4. L. Perko: Differential equations and dynamical systems, 3rd ed. - New York : Springer, cop. 2001.
  5. C. Robinson: Dynamical systems : stability, symbolic dynamics, and chaos, 2nd ed., Boca Raton : CRC Press, cop. 1999.
  6. G. Teschl: Ordinary differential equations and dynamical systems, Providence : American Mathematical Society, cop. 2012.
Cilji in kompetence

Študent se seznani z osnovnimi metodami, ki se uporabljajo pri obravnavi dinamičnih sistemov. Pri tem uporabi znanje iz linearne algebre, diferencialnih enačb in topologije. Spozna različne zglede modeliranja pojavov v medicini, ekonomiji, biologiji in fiziki.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje pojmov, kot so: dinamični sitem, stabilnost, periodično gibanje, bifurkacija in kaos.
Uporaba:
Formuliranje, modeliranje in reševanje raznih problemov iz medicine, biologije, fizike in ekonomije.
Refleksija:
Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe. Številni zgledi pomagajo spoznati vlogo matematike v naravoslovju in tehniki.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Identifikacija, formulacija in reševanje problemov iz drugih strok v matematičnem jeziku. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

izpit iz vaj (2 kolokvija ali pisni izpit)
Ustni izpit
Domače naloge
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Franc Forstnerič:
FORSTNERIČ, Franc. Actions of (R,+) and (C,+) on complex manifolds. Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874, 1996, let. 223, št. 1, str. 123-153. [COBISS-SI-ID 6928729]
FORSTNERIČ, Franc. Interpolation by holomorphic automorphisms and embeddings in C [sup] n. The Journal of geometric analysis, ISSN 1050-6926, 1999, let. 9, št. 1, str. 93-117. [COBISS-SI-ID 9452377]
FORSTNERIČ, Franc. Holomorphic families of long c [sup] 2's. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2012, vol. 140, no. 7, str. 2383-2389. [COBISS-SI-ID 16435289]

Jasna Prezelj:
PREZELJ, Jasna, VLACCI, Fabio. An interpolation theorem for slice-regular functions with application to very tame sets and slice Fatou–Bieberbach domains in H2, AMPA, ISSN 0373-3114, 2022, vol. 201, no. 5, str. 2137-2159 [COBISS-SI-ID - 106389763]
GENTILI, Graziano, PREZELJ, Jasna, VLACCI, Fabio, Slice conformality and Riemann manifolds on quaternions and octonions,: Mathematische Zeitschrift. - ISSN 0025-5874, 2022, vol. 302, no. 2, str. 971-994 [COBISS-SI-ID - 117983235]
GENTILI, Graziano, PREZELJ, Jasna, VLACCI, Fabio, On a definition of logarithm of quaternionic functions, JCNG 2023, vol. 17, no.3, str. 1099-1128 [COBISS-SI-ID - 162763779]