Verjetnost 2

Pogojev za vključitev v delo ni.

Markovske verige v diskretnem času: Slučajni procesi in markovska lastnost. Teorija markovskih verig. Povezava s teorijo grafov in linearno algebro. Osnovna struktura verig. Časi prvih prehodov in vrnitev. Povrnljiva in minljiva stanja. Poljubno mnogo obiskov stanja. Ergodično obnašanje verige. Limitni izreki. Posebnosti v končnem.
Markovske verige v zveznem času: Poissonov tok in Poissonov proces. Rojstni procesi: reševanje enačb Kolmogorova. Zvezna markovska lastnost. Naprejšnje in nazajšnje enačbe Kolmogorova in njihove rešitve. Stacionarna porazdelitev. Obratna pot do markovskih verig. Stabilnost in eksplozije. Diferencialne enačbe in generator polgrupe.
Uporaba markovskih verig: Čakalni sistemi (rojstno smrtni čakalni sistem, čakalni sistem M/M/1, osnovni pojmi teorije strežnih sistemov, nekateri pomembni primeri čakalnih sistemov). Metoda Monte Carlo markovskih verig (Bayesova statistika in Monte Carlo simulacije, algoritma Gibbsov vzorčevalnik in Metropolis-Hastings, konvergenca algoritmov, aplikacije v finančni matematiki).

1. G. Grimmett, D. Stirzaker: Probability and random processes, 3rd ed., Oxford : Oxford University Press, 2001, 2009.
2. J. R. Norris: Markov chains, Cambridge : Cambridge University Press, 1999.
3. S. I. Resnick: Adventures in stochastic processes, Boston : Birkhäuser, cop. 1992.
4. L. C. G. Rogers, D. Williams: Diffusions, Markov processes and martingales. Vol. 1, Foundations, 2nd ed., Cambridge : Cambridge University Press, cop. 2000.
5. D. Williams: Probability with Martingales, Cambridge : Cambridge University Press, 1995.

Pri predmetu obravnavamo vrsto posebnih verjetnostnih vsebin, pri katerih ni potrebno globoko teoretično predznanje, so pa pomembne za uporabo. Poudarek je predvsem na ergodični teoriji, tako v diskretnem kot zveznem času. Uporabe vključujejo teorijo čakalnih sistemov ter MCMC metode.

Znanje in razumevanje:
Spoznavanje nekaterih najpomembnejših aplikacij verjetnosti.

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Način (pisni izpit, ustno izpraševanje, naloge, projekt):
izpit iz vaj, ki ga je možno nadomestiti z 2 kolokvijema
izpit iz teorije, ki ga je možno delno nadomestiti s teoretičnimi testi
ocene: 1-5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Mihael Perman:
PERMAN, Mihael, PITMAN, Jim, YOR, Marc. Size-biased sampling of Poisson processes and excursions. Probability theory and related fields, ISSN 0178-8051, 1992, 92, no. 1, str. 21-39. [COBISS-SI-ID 12236377]
PERMAN, Mihael, WELLNER, Jon A. On the distribution of Brownian areas. Annals of applied probability, ISSN 1050-5164, 1996, let. 6, št. 4, str. 1091-1111. [COBISS-SI-ID 7101017]
PERMAN, Mihael. An excursion approach to Ray-Knight theorems for perturbed Brownian motion. Stochastic Processes and their Applications, ISSN 0304-4149. [Print ed.], 1996, let. 63, str. 67-74. [COBISS-SI-ID 7621465]

Martin Raič:
M. RAIČ: A multivariate Berry-Esseen theorem with explicit constants. Bernoulli 25, št. 4A (2019), 2824-2853.
P. Eichelsbacher, M. RAIČ, T. Schreiber: Moderate deviations for stabilizing functionals in geometric probability. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques 51, št. 1 (2015), 89-128.
M. RAIČ: A multivariate CLT for decomposable random vectors with finite second moments. Journal of Theoretical Probability 17, št. 3 (2004), 573-603.