Parcialne diferencialne enačbe

2019/2020
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
temeljni izbirni
Skupina:
M1
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Nosilci predmeta:
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Prostori odvedljivih funkcij. Hölderjevi prostori. Schwartzev razred hitro padajočih funkcij. Testne funkcije. Distribucije. Prostori Soboljeva. Osnovna rešitev. Karakteristike linearnega parcialnega diferencialnega opearatorja. Cauchyjeva naloga. Izrek Cauchy-Kowalevski. Lewyjev primer.
Laplaceva enačba. Newtonov potencial kot osnovna rešitev Laplaceve enačbe. Dirichletov problem. Subharmonične funkcije. Perronova metoda. Šibke rešitve Dirichletevega problema. Lastne funkcije in lastne vrednosti Laplaceovega operatorja. Regularnost rešitev.
Toplotna enačba v višjih dimenzijah. Gaussovo jedro. Fundamentalna rešitev toplotne enačbe. Nehomogena toplotna enačba. Weierstrassov izrek. Toplotna enačba na omejenih območjih. Princip maksima. Fouriereva metoda separacij spremenljivk.
Valovna enačba v višjih dimenzijah. Sferična povprečja. Valovna enačba v ravnini in prostoru. Fundamentalna rešitev valovne enačbe. Rešitve nehomogene valovne enačbe. Valovna enačba na omejenih območjih. Fouriereva metoda separacij spremenljivk.

Temeljni literatura in viri

L. C. Evans: Partial Differential Equations, 2nd edition, AMS, Providence, 2010.
G. B. Folland: Introduction to Partial Differential Equations, 2nd edition, Princeton Univ. Press, Princeton, 1995.
L. Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I : Distribution Theory and Fourier Analysis, 2nd edition, Springer, Berlin, 2003.
F. John: Partial Differential Equations, 4th edition, Springer, New York, 1991.
F. Križanič: Parcialne diferencialne enačbe, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2004.
E. H. Lieb, M. Loss: Analysis, 2nd edition, AMS, Providence, 2001.
Y. Pinchover, J. Rubinstein: An Introduction to Partial Differential Equations, CUP, Cambridge, 2005
A. Suhadolc: Integralske transformacije/Integralske enačbe, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1994.
M. E. Taylor: Partial differential equations I: Basic theory, 2nd edition, Springer, New York, 2011

Cilji in kompetence

Slušatelj se seznani s parcialnimi diferencialnimi enačbami v poljubni dimenziji. Predstavljene so distribucije kot posplošene rešitve linearnih parcialnih diferencialnih enačb. Dokazani so eksistenčni izreki za Laplaceovo, toplotno in valovno enačbo ter osnovne regularnostne lastnosti njihovih rešitev.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje pojma posplošene rešitve parcialne diferencialne enačbe. Obvladanje postopkov za analitično reševanje nekaterih tipov parcialnih diferencialnih enačb v poljubni dimenziji. Razumevanje lastnosti rešitev različnih parcialnih diferencialnih enačb drugega reda.
Uporaba: Formulacija nekaterih matematičnih in nematematičnih problemov v obliki parcialnih diferencialnih enačb. Reševanje dobljenih parcialnih diferencialnih enačb.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Identifikacija, formulacija in reševanje matematičnih in nematematičnih problemov s pomočjo parcialnih diferencialnih enačb. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, seminar, konzultacije

Načini ocenjevanja

izpit iz vaj / izpit iz teorije
pisni izpit/ ustni izpit

Ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Reference nosilca

Miran Černe:
ČERNE, Miran, ZAJEC, Matej. Boundary differential relations for holomorphic functions on the disc. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2011, vol. 139, no. 2, str. 473-484. [COBISS-SI-ID 15710553]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Generalized Ahlfors functions. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 2007, vol. 359, no. 2, str. 671-686. [COBISS-SI-ID 14227801]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Quasilinear [overline{partial}]-equation on bordered Riemann surfaces. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2006, vol. 335, no. 2, str. 379-403. [COBISS-SI-ID 13970777]
Franc Forstnerič:
FORSTNERIČ, Franc. Runge approximation on convex sets implies the Oka property. Annals of mathematics, ISSN 0003-486X, 2006, vol. 163, no. 2, str. 689-707. [COBISS-SI-ID 13908825]
FORSTNERIČ, Franc. Noncritical holomorphic functions on Stein manifolds. Acta mathematica, ISSN 0001-5962, 2003, vol. 191, no. 2, str. 143-189. [COBISS-SI-ID 13138009]
FORSTNERIČ, Franc, ROSAY, Jean-Pierre. Approximation of biholomorphic mappings by automorphisms of C [sup] n. Inventiones Mathematicae, ISSN 0020-9910, 1993, let. 112, št. 2, str. 323-349. [COBISS-SI-ID 9452121]
Pavle Saksida:
SAKSIDA, Pavle. Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2006, vol. 19, no. 3, str. 747-768. [COBISS-SI-ID 13932377]
SAKSIDA, Pavle. Maxwell-Bloch equations, C Neumann system and Kaluza-Klein theory. Journal of physics. A, Mathematical and general, ISSN 0305-4470, 2005, vol. 38, no. 48, str. 10321-10344. [COBISS-SI-ID 13802073]
SAKSIDA, Pavle. Nahm's equations and generalizations Neumann system. Proceedings of the London Mathematical Society, ISSN 0024-6115, 1999, let. 78, št. 3, str. 701-720. [COBISS-SI-ID 8853849]