Analiza na mnogoterostih

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
temeljni izbirni
Skupina:
M3
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Definicija gladke mnogoterosti in preslikave. Osnovne konstrukcije in primeri. Diferencial preslikave. Tangentni sveženj in tangentna preslikava. Mnogoterosti z robom. Delovanje grupe na mnogoterosti. Krovne in kvocientne mnogoterosti. Svežnji in vektorski svežnji. Imerzije in submerzije. Podmnogoterosti. Vložitve mnogoterosti v evklidske prostore.
Vektorska polja kot dinamični sistemi. Tok vektorskega polja. Komutator vektorskih polj. Frobeniusov izrek. Izrek o obstoju cevaste okolice. Indeks kritične točke vektorskega polja. Poincaré-Hopfov izrek.
Liejeve grupe. Eksponentna preslikava. Invariantna vektorska polja. Liejeva algebra. Adjungirana reprezentacija.
Sardov izrek. Thomov izrek o transverzalnosti. Presečno število podmnogoterosti. Morsejeve funkcije.
Možne dodatne vsebine:
Diferencialne forme in integracija. Stokesov izrek. De Rhamova kohomologija. Poincaréjeva dualnost. Eulerjev razred in Thomov razred.
Riemannove mnogoterosti. Volumska forma in integracija. Hodgev *-operator. Laplaceov operator. Harmonične forme. Hodgejeva dekompozicija.

Temeljni literatura in viri

W. M. Boothby: An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, 2nd edition, Academic Press, Orlando, 1986.
V. Guillemin, A. Pollack: Differential Topology, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1974.
M. W. Hirsch: Differential Topology, Springer, New York, 1997.
M. Spivak: Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, New York-Amsterdam, 1965.
F. W. Warner: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, New York-Berlin, 1983.

Cilji in kompetence

Slušatelj se seznani z osnovami teorije gladkih mnogoterosti in njihovo povezavo s sorodnimi področji matematike kot so analitična in algebraična geometrija, teorija Riemannovih ploskev, teorija Liejevih grup in druga. Pri tem uporabi znanje iz osnovne analize, algebre in topologije.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Metode matematične analize, algebre in topologije, ki jih je študent spoznal na prvi stopnji študija, se obravnavajo in uporabijo v splošnejšem kontekstu gladkih mnogoterosti.Uporaba: Teorija mnogoterosti je ena najbolj interdisciplinarnih področij sodobne matematike in je osnova vrsti področij kot so analitična, algebraična in diferencialna geometrija, teorija Liejevih grup, teorija Riemannovih ploskev, dinamika, itd. Mnogoterosti so nepogrešljivo orodje v naravoslovju in tehniki.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov. Razvoj sposobnosti uporabe teorije v različnih problemih znanosti in tehnike.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Identifikacija, formulacija in reševanje problemov s pomočjo metod teorije gladkih mnogoterosti. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Domače naloge in/ali pisni izpit
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Franc Forstnerič:
FORSTNERIČ, Franc. Runge approximation on convex sets implies the Oka property. Annals of mathematics, ISSN 0003-486X, 2006, vol. 163, no. 2, str. 689-707. [COBISS-SI-ID 13908825]
FORSTNERIČ, Franc. Noncritical holomorphic functions on Stein manifolds. Acta mathematica, ISSN 0001-5962, 2003, vol. 191, no. 2, str. 143-189. [COBISS-SI-ID 13138009]
FORSTNERIČ, Franc. Manifolds of holomorphic mappings from strongly pseudoconvex domains. The Asian journal of mathematics, ISSN 1093-6106, 2007, vol. 11, no. 1, str. 113-126. [COBISS-SI-ID 14352473]
Janez Mrčun:
MOERDIJK, Ieke, MRČUN, Janez. Introduction to foliations and Lie groupoids, (Cambridge studies in advanced mathematics, 91). Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2003. IX, 173 str., ilustr. ISBN 0-521-83197-0. [COBISS-SI-ID 12683097]
MOERDIJK, Ieke, MRČUN, Janez. On integrability of infinitesimal actions. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2002, vol. 124, no. 3, str. 567-593. [COBISS-SI-ID 11700057]
MRČUN, Janez. Functoriality of the bimodule associated to a Hilsum-Skandalis map. K-theory, ISSN 0920-3036, 1999, let. 18, št. 3, str. 235-253. [COBISS-SI-ID 9163353]
Pavle Saksida:
SAKSIDA, Pavle. Integrable anharmonic oscillators on spheres and hyperbolic spaces. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2001, vol. 14, no. 5, str. 977-994. [COBISS-SI-ID 10942809]
SAKSIDA, Pavle. Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2006, vol. 19, no. 3, str. 747-768. [COBISS-SI-ID 13932377]
SAKSIDA, Pavle. On zero-curvature condition and Fourier analysis. Journal of physics. A, Mathematical and theoretical, ISSN 1751-8113, 2011, vol. 44, no. 8, 085203 (19 str.). [COBISS-SI-ID 15909465]