Iterativne numerične metode v linearni algebri

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M4
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Nosilci predmeta:
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Kadar imamo opravka z velikimi razpršenimi matrikami, se moramo numeričnega reševanja linearnega sistema in problema lastnih vrednosti lotiti drugače kot z direktnimi metodami (na primer Gaussova eliminacija oziroma QR metoda), saj nam sicer zmanjka spomina ali pa računanje poteka prepočasi.
Iterativne metode za linearni sistem. Jacobijeva, Gauss-Seidlova in SOR metoda. Simetrična SOR metoda s pospešitvijo Čebiševa. Podprostor Krilova. Lanczosev in Arnoldijev algoritem, GMRES, MINRES in sorodne metode. Metoda konjugiranih gradientov. Bi-konjugirani gradienti. Predpogojevanje.
Nelinearni sistemi. Newton-GMRES, Broydnova metoda. GMRES za najmanjše kvadrate.
Iterativne metode za problem lastnih vrednosti. Rayleigh-Ritzeva metoda, Metode podprostorov Krilova, Jacobi-Davidsonova metoda. Posplošeni problem lastnih vrednosti, polinomski problem lastnih vrednosti.

Temeljni literatura in viri

J. W. Demmel: Uporabna numerična linearna algebra, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2000.
R. Barrett, M. W. Berry, T. F. Chan, J. Demmel, J. Donato, J. Dongarra, V. Eijkhout, R. Pozo, C. Romine, H. van der Vorst: Templates for the Solution of Linear Systems : Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.
Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, H. van der Vorst: Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems : A Practical Guide, SIAM, Philadelphia, 2000.
G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computations, 3rd edition, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996.
C. T. Kelley: Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, SIAM, Philadelphia, 1995.
H. van der Vorst: Iterative Krylov methods for large linear systems, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
Y. Saad: Iterative methods for sparse linear systems. Second edition, SIAM, Philadelphia, 2011.

Cilji in kompetence

Slušatelj spozna iterativne numerične metode za reševanje linearnih sistemov in problemov lastnih vrednosti, ki se jih uporablja pri razpršenih matrikah. Dopolni vsebine, ki jih sreča pri Uvodu v numerične metode in Numerični linearni algebri. Pridobljeno znanje praktično utrdi z domačimi nalogami in reševanjem problemov s pomočjo računalnika.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje osnovnih numeričnih algoritmov za razpršene matrike. Obvladanje numeričnega reševanja problemov z velikimi matrikami. Sposobnost izbire najprimernejšega algoritma glede na lastnosti matrike. Znanje programiranja in uporabe Matlaba oziroma drugih sorodnih orodij za reševanje tovrstnih problemov.
Uporaba: Ekonomično in natančno numerično reševanje linearnih sistemov oziroma lastnih problemov z razpršenimi matrikami.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnost uporabe računalnika pri reševanju matematičnih problemov. Razumevanje razlik med eksaktnim in numeričnim računanjem. Predmet konstruktivno nadgrajuje zahtevnejša znanja linearne algebre.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije, projekti

Načini ocenjevanja

Domače naloge ali projekt
Pisni izpit
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Bor Plestenjak:
HOCHSTENBACH, Michiel E., MUHIČ, Andrej, PLESTENJAK, Bor. On linearizations of the quadratic two-parameter eigenvalue problem. Linear Algebra and its Applications, ISSN 0024-3795. [Print ed.], 2012, vol. 436, iss. 8, str. 2725-2743. [COBISS-SI-ID 16095065]
MUHIČ, Andrej, PLESTENJAK, Bor. On the quadratic two-parameter eigenvalue problem and its linearization. Linear Algebra and its Applications, ISSN 0024-3795. [Print ed.], 2010, vol. 432, iss. 10, str. 2529-2542. [COBISS-SI-ID 15469913]
HOCHSTENBACH, Michiel E., KOŠIR, Tomaž, PLESTENJAK, Bor. A Jacobi-Davidson type method for the two-parameter eigenvalue problem. SIAM journal on matrix analysis and applications, ISSN 0895-4798, 2005, vol. 26, no. 2, str. 477-497. [COBISS-SI-ID 13613401]