Kompleksna analiza

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
temeljni izbirni
Skupina:
M1
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Cauchyjeva integralska formula za holomorfne in neholomorfne funkcije. Rešitev nehomogene debar enačbe na ravninskih območjih s Cauchyjevim integralom.
Schwarzeva lema. Avtomorfizmi diska.
Konveksne funkcije. Hadamardov izrek o treh krožnicah. Phragmen-Lindelöfov izrek.
Kompaktnost in konvergenca v prostoru holomorfnih funkcij. Normalne družine. Montelov izrek. Hurwitzev izrek. Riemannov upodobitveni izrek.
Koebejev izrek. Blochov izrek. Izrek Landaua, Picardovi izreki. Schottkyjev izrek.
Konvergenca produktov. Weierstrassov faktorizacijski izrek. Rungejev izrek o aproksimaciji z racionalnimi funkcijami. Mittag-Lefflerjev izrek o konstrukciji funkcije z danimi glavnimi deli. Izrek o interpolaciji s holomorfno funkcijo na diskretni množici.
Schwarzev princip zrcaljenja. Analitično nadaljevanje vzdolž poti. Monodromijski izrek. Kompletna analitična funkcija. Snop zarodkov holomorfnih funkcij. Pojem Riemannove ploskve.
Druge možne vsebine: Harmonične in subharmonične funkcije. Poissonovo jedro in rešitev Dirichletovega problema na krogu. Lastnosti Poissonovega integrala in povezava s Cauchyjevim integralom. Mergelyanov izrek. Cele funkcije. Rast in red cele funkcije. Hadamardov izrek o faktorizaciji.

Temeljni literatura in viri

L. Ahlfors: Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1979.
C. A. Berenstein, R. Gay: Complex Analysis and Special Topics in Harmonic Analysis, Springer, New York, 1995.
J. B. Conway: Functions of One Complex Variable I, 2nd edition, Springer, New York-Berlin, 1995.
R. Narasimhan, Y. Nievergelt: Complex Analysis in One Variable, 2nd edition, Birkhäuser, Boston, 2001.
W. Rudin: Real and Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1987.
T. Gamelin: Complex analysis, Springer-Verlag, New York, 2001.

Cilji in kompetence

Slušatelj spozna nekatere vsebine teorije holomorfnih funkcij ene kompleksne spremenljivke. Pri tem uporabi znanje iz osnovne analize in topologije.
V okviru seminarskih/projektnih aktivnosti študentje z individualnim delom in predstavitvijo ter delom v skupinah pridobijo izobraževalno komunikacijske in socialne kompetence za prenos znanj in za vodenje (strokovnega skupinskega dela).

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje nekaterih bistvenih pojmov in rezultatov teorije holomorfnih funkcij.
Uporaba: V ostalih delih matematične analize in geometrije, uporaba konformnih preslikav pri reševanju problemov iz fizike in mehanike.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Identifikacija, formulacija in reševanje matematičnih in nematematičnih problemov s pomočjo metod kompleksne analize. Spretnost uporabe domače in tuje literature. Privajanje na samostojno seminarsko predstavitev gradiva.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, seminar, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Domače naloge, seminarska naloga.
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Miran Černe:
ČERNE, Miran, ZAJEC, Matej. Boundary differential relations for holomorphic functions on the disc. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2011, vol. 139, no. 2, str. 473-484. [COBISS-SI-ID 15710553]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Generalized Ahlfors functions. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 2007, vol. 359, no. 2, str. 671-686. [COBISS-SI-ID 14227801]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Quasilinear [overline{partial}]-equation on bordered Riemann surfaces. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2006, vol. 335, no. 2, str. 379-403. [COBISS-SI-ID 13970777]
Barbara Drinovec Drnovšek:
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara, FORSTNERIČ, Franc. The Poletsky-Rosay theorem on singular complex spaces. Indiana University mathematics journal, ISSN 0022-2518, 2012, vol. 61, no. 4, str. 1407-1423. [COBISS-SI-ID 16679257]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara, FORSTNERIČ, Franc. Holomorphic curves in complex spaces. Duke mathematical journal, ISSN 0012-7094, 2007, vol. 139, no. 2, str. 203-254. [COBISS-SI-ID 14351705]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. On proper discs in complex manifolds. Annales de l'Institut Fourier, ISSN 0373-0956, 2007, t. 57, fasc. 5, str. 1521-1535. [COBISS-SI-ID 14379865]
Franc Forstnerič:
FORSTNERIČ, Franc, WOLD, Erlend Fornæss. Embeddings of infinitely connected planar domains into C [sup] 2. Analysis & PDE, ISSN 2157-5045, 2013, vol. 6, no. 2, str. 499-514. [COBISS-SI-ID 16645209]
FORSTNERIČ, Franc. Runge approximation on convex sets implies the Oka property. Annals of mathematics, ISSN 0003-486X, 2006, vol. 163, no. 2, str. 689-707. [COBISS-SI-ID 13908825]
FORSTNERIČ, Franc. Noncritical holomorphic functions on Stein manifolds. Acta mathematica, ISSN 0001-5962, 2003, vol. 191, no. 2, str. 143-189. [COBISS-SI-ID 13138009]
Jasna Prezelj:
FORSTNERIČ, Franc, PREZELJ-PERMAN, Jasna. Oka's principle for holomorphic submersions with sprays. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2002, band 322, heft 4, str. 633-666. [COBISS-SI-ID 11554649]
PREZELJ-PERMAN, Jasna. Interpolation of embeddings of Stein manifolds on discrete sets. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2003, band 326, heft 2, str. 275-296. [COBISS-SI-ID 12518489]
PREZELJ-PERMAN, Jasna. Weakly regular embeddings of Stein spaces with isolated singularities. Pacific journal of mathematics, ISSN 0030-8730, 2005, vol. 220, no. 1, str. 141-152. [COBISS-SI-ID 13910873]