Komutativna algebra

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
temeljni izbirni
Skupina:
M2
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Osnovni del:
Komutativni kolobar, spekter kolobarja. Nilradikal in Jacobsonov radikal.
Moduli, podmoduli in homomorfizmi. Operacije na modulih, direktna vsota in produkt. Končno generirani moduli. Eksaktna zaporedja. Tenzorski produkt modulov in njegove eksaktnostne lastnosti. Razširitev in zožitev skalarjev. Algebre in njihovi tenzorski produkti.
Noetherski kolobarji, Hilbertov izrek o bazi. Izrek o noetherski normalizaciji.
Hilbertov izrek o ničlah, topologija Zariskega.
Kolobarji ulomkov, lokalizacija.
Primarni razcep. Prirejeni praideali, primarne komponente, izreka o enoličnosti.
Izbirne vsebine:
Valuacijski kolobarji.
Filtracija. Artin-Reesova lema.
Napolnitev in Henselova lema.
Uvod v teorijo dimenzije.
Polinomi, Gröbnerjeve baze.

Temeljni literatura in viri

M. Reid: Undergraduate Commutative Algebra, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
M. F. Atiyah, I. G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, 1994.
D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Ideals, Varieties and Algorithms : An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, 2nd edition, Springer, New York, 2005.
N. Lauritzen: Concrete Abstract Algebra: From Numbers to Gröbner Bases, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.

Cilji in kompetence

Slušatelj spozna osnove teorije komutativne algebre. Dopolni vsebine, ki jih sreča pri algebraičnih predmetih na dodiplomskem študiju. Pridobljeno znanje praktično utrdi z domačimi nalogami in samostojnim reševanjem problemov.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Poznavanje osnovnih pojmov in izrekov komutativne algebre in njihovo prepoznavanje v drugih vejah matematike.
Uporaba: V algebraični geometriji in algebraični teoriji števil.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Formulacija problemov v primernem jeziku, reševanje in analiza doseženega na primerih, prepoznavanje algebraičnih struktur v geometriji in teoriji števil.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Domače naloge
Pisni izpit
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

David Dolžan:
DOLŽAN, David, OBLAK, Polona. The zero-divisor graphs of rings and semirings. International journal of algebra and computation, ISSN 0218-1967, 2012, vol. 22, iss. 4, 1250033 (20 str.). [COBISS-SI-ID 16312921]
DOLŽAN, David, KOKOL-BUKOVŠEK, Damjana, OBLAK, Polona. Diameters of commuting graphs of matrices over semirings. Semigroup forum, ISSN 0037-1912, 2012, vol. 84, no. 2, str. 365-373. [COBISS-SI-ID 16313433]
DOLŽAN, David, OBLAK, Polona. Commuting graphs of matrices over semirings. V: 1st Montreal Workshop on Idempotent and Tropical Mathematics, June 29 to July 3, 2009, University of Montreal, Canada. Special Issue dedicated to 1st Montreal Workshop, (Linear algebra and its applications, ISSN 0024-3795, Vol. 436, iss. 7). Amsterdam [etc.]: Elsevier, 2011, str. 1657-1665. [COBISS-SI-ID 15585113]
Tomaž Košir:
GRUNENFELDER, Luzius, KOŠIR, Tomaž, OMLADIČ, Matjaž, RADJAVI, Heydar. Finite groups with submultiplicative spectra. Journal of Pure and Applied Algebra, ISSN 0022-4049. [Print ed.], 2012, vol. 216, iss. 5, str. 1196-1206. [COBISS-SI-ID 16183385]
BUCKLEY, Anita, KOŠIR, Tomaž. Plane curves as Pfaffians. Annali della Scuola normale superiore di Pisa, Classe di scienze, ISSN 0391-173X, 2011, vol. 10, iss. 2, str. 363-388. [COBISS-SI-ID 15928409]
KOŠIR, Tomaž, OBLAK, Polona. On pairs of commuting nilpotent matrices. Transformation groups, ISSN 1083-4362, 2009, vol. 14, no. 1, str. 175-182. [COBISS-SI-ID 15077977]