Konveksnost

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M3
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Afine in konveksne množice. Topološke lastnosti konveksnih množic. Caratheodorijev in Radonov izrek. Separacijski izreki. Ekstremne točke. Politopi. Stožci in polare. Poliedri. Izrek Weyla in Minkowskega. Sistemi linearnih neenačb. Farkaseva lema in linearno programiranje. Posplošitve Hellyjevega izreka. Metrični prostor konveksnih množic. Blaschkejev izrek. Metrične lastnosti konveksnih množic. Konveksne funkcije. Zveznost, odvedljivost in subgradient. Ekstremi.

Temeljni literatura in viri

H. G. Eggleston: Convexity, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1958.
A. Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes, Springer, New York-Berlin, 1983.
F. A. Valentine: Convex Sets, Robert E. Krieger, Huntington, 1976.
R. T. Rockafellar: Convex Analysis, Princeton Univ. Press, Princeton, 1996.
A. W. Roberts, D. E. Varberg: Convex Functions, Academic Press, New York-London, 1973.

Cilji in kompetence

Študent spozna osnovne pojme konveksne geometrije in konveksne analize. Seznani se z lastnostmi konveksnih množic in konveksnih funkcij v evklidskih in normiranih prostorih ter z uporabo teorije na raznih področjih matematike. Pri tem povezuje geometrijsko intuicijo z algebro, analizo in kombinatoriko.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov
teorije konveksnih množic in konveksnih funkcij. Sinteza metod iz linearne algebre, analize in geometrije.
Uporaba:
Uporaba teorije pri reševanju problemov na raznih področjih matematike in drugih znanosti.
Refleksija:
Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Postavitev problema, njegova matematična formulacija ter reševanje in analiza. Prenos teorije v prakso.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Izpit iz vaj (2 kolokvija ali pisni izpit)
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Franc Forstnerič:
FORSTNERIČ, Franc. Runge approximation on convex sets implies the Oka property. Annals of mathematics, ISSN 0003-486X, 2006, vol. 163, no. 2, str. 689-707. [COBISS-SI-ID 13908825]
FORSTNERIČ, Franc. Noncritical holomorphic functions on Stein manifolds. Acta mathematica, ISSN 0001-5962, 2003, vol. 191, no. 2, str. 143-189. [COBISS-SI-ID 13138009]
FORSTNERIČ, Franc. Embedding strictly pseudoconvex domains into balls. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 1986, let. 295, št. 1, str. 347-368. [COBISS-SI-ID 8206425]
Klemen Šivic:
KLEP, Igor, MCCULLOUGH, Scott, ŠIVIC, Klemen, ZALAR, Aljaž. There are many more positive maps than completely positive maps. International mathematics research notices. June 2019, vol. 2019, iss. 11, str. 3313-3375. ISSN 1073-7928. [COBISS-SI-ID 18670425]
KANDIĆ, Marko, ŠIVIC, Klemen. On the dimension of the algebra generated by two positive semi-commuting matrices. Linear Algebra and its Applications. [Print ed.]. 2017, vol. 512, str. 136-161. ISSN 0024-3795. [COBISS-SI-ID 17776985]
KUZMA, Bojan, OMLADIČ, Matjaž, ŠIVIC, Klemen, TEICHMANN, Josef. Exotic one-parameter semigroups of endomorphisms of a symmetric cone. Linear Algebra and its Applications. [Print ed.]. 2015, vol. 477, str. 42-75. ISSN 0024-3795. [COBISS-SI-ID 17257561]