Numerična aproksimacija in interpolacija

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
temeljni izbirni
Skupina:
M4
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Aproksimacija funkcij: Izbira prostorov aproksimativnih funkcij. Polinomi. Trigonometrijski polinomi. Odsekoma polinomske funkcije. Stabilnost baz. Weierstrassov izrek. Pozitivni operatorji. Optimalni aproksimativni problem. Eksistenca in enoličnost elementa najboljše aproksimacije. Enakomerna konveksnost, stroga normiranost.
Enakomerna aproksimacija s polinomi: Enoličnost za diskretni in zvezni primer. Alternacija residuala. Konstrukcija. Prvi in drugi Remesov postopek. Konvergenca. Polinomi Čebiševa. Posplošitve: Čebiševi sistemi funkcij, generalizirani polinomi.
Metoda najmanjših kvadratov v zveznem in diskretnem primeru: Ortogonalni polinomi. Tričlenska rekurzivna formula. Gram-Schmidtova ortogonalizacija in numerično stabilnejše izvedbe. Reortogonalizacija. Navezava diskretnega in zveznega primera. Enakomerna konvergenca L2-aproksimacij.
Interpolacija: Interpolacija s polinomi. Lagrangeva oblika interpolacijskega polinoma in ostanek. Baricentrična Lagrangeova interpolacija. Deljene diference. Newtonova oblika interpolacijskega polinoma, posplošena Hornerjeva shema. Divergenca interpolacijskih polinomov.
Odsekoma polinomske funkcije, zlepki: Eulerjevi poligoni, interpolacija in aproksimacija v drugi normi. Kubični zlepki. B-zlepki kot baza prostora odsekoma polinomskih funkcij. Bézierove krivulje. Zlepki v dveh dimenzijah.

Temeljni literatura in viri

J. Kozak: Numerična analiza, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2008.
R. L. Burden, J. D. Faires: Numerical Analysis, 8th edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2005.
E. K. Blum: Numerical Analysis and Computation : Theory and Practice, Addison-Wesley, Reading, 1998.
Z. Bohte: Numerične metode, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1991.
S. D. Conte, C. de Boor: Elementary Numerical Analysis : An Algorithmic Approach, 3rd edition, McGraw-Hill, Auckland, 1986.
C. de Boor: A Practical Guide to Splines, Springer, New York, 2001.
E. Isaacson, H. B. Keller: Analysis of Numerical Methods, John Wiley & Sons, New York-London-Sydney, 1994.
D. R. Kincaid, E. W. Cheney: Numerical Analysis : Mathematics of Scientific Computing, 3rd edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2002.

Cilji in kompetence

Slušatelj dopolni poznavanje analitičnih metod aproksimacije in interpolacije z numeričnimi. Ob domačih nalogah pridobljeno znanje praktično utrdi.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje pojmov interpolacije in aproksimacije. Praktično obvladanje numeričnih postopkov za konstrukcijo interpolacijskih oziroma aproksimacijskih funkcij.
Uporaba: Numerična konstrukcija interpolacijskih ali aproksimacijskih funkcij s pomočjo računalnika in ocenjevanje napak na podlagi teorije. Interpolacija in aproksimacija se uporabljata na mnogih področjih, še posebej pri računalniško podprtem grafičnem modeliranju.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnost uporabe računalnika pri reševanju matematičnih problemov. Razumevnje razlik med eksaktnim in numeričnim računanjem.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije.

Načini ocenjevanja

Domače naloge ali projekt
Pisni izpit
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Marjetka Krajnc:
JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, KRAJNC, Marjetka, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil. High order parametric polynomial approximation of conic sections. Constructive approximation, ISSN 0176-4276, 2013, vol. 38, iss. 1, str. 1-18. [COBISS-SI-ID 16716121]
KRAJNC, Marjetka. Interpolation scheme for planar cubic G [sup] 2 spline curves. Acta applicandae mathematicae, ISSN 0167-8019, 2011, vol. 113, no. 2, str. 129-143. [COBISS-SI-ID 16215385]
KRAJNC, Marjetka. Geometric Hermite interpolation by cubic G[sup]1 splines. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, ISSN 0362-546X. [Print ed.], 2009, vol. 70, iss. 7, str. 2614-2626. [COBISS-SI-ID 15508569]
Emil Žagar:
JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil. Lagrange geometric interpolation by rational spatial cubic Bézier curves. Computer Aided Geometric Design, ISSN 0167-8396, 2012, vol. 29, iss. 3-4, str. 175-188. [COBISS-SI-ID 16207449]
KOZAK, Jernej, ŽAGAR, Emil. On geometric interpolation by polynomial curves. SIAM journal on numerical analysis, ISSN 0036-1429, 2004, vol. 42, no. 3, str. 953-967. [COBISS-SI-ID 13398617]
ŽAGAR, Emil. On G [sup] 2 continuous spline interpolation of curves in R [sup] d. BIT, ISSN 0006-3835, 2002, vol. 42, no. 3, str. 670-688. [COBISS-SI-ID 12027993]