Numerična integracija in navadne diferencialne enačbe

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M4
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Numerično odvajanje: Stabilno računanje odvodov. Diferenčne aproksimacije za odvode.
Numerična integracija: Stopnja in konvergenca. Newton–Cotesove formule. Gaussove kvadraturne formule. Sestavljena pravila. Ocene napak. Konvergenca. Euler-McLaurinovo sumacijsko pravilo in Rombergova ekstrapolacija. Singularni integrali. Večkratni integrali. Metode tipa Monte Carlo.
Reševanje navadnih diferencialnih enačb: Začetni problem. Enačbe prvega reda. Enačbe višjih redov. Sistemi diferencialnih enačb. Lokalna in globalna napaka. Eksplicitne in implicitne metode.
Enočlenske metode: Eulerjeva metoda. Uporaba Taylorjeve vrste. Metode tipa Runge-Kutta. Eksplicitna RK metoda četrtega reda, trapezno pravilo, Mersonova metoda, Runge-Kutta Fehlbergova metoda. Stabilnost, konsistentnost in konvergenca enočlenskih metod. A-stabilnost.
Veččlenske metode: Metode, ki temeljijo na numerični integraciji. Adamsove metode. Splošne linearne veččlenske metode. Rodovna polinoma in lokalna napaka. Prediktor–korektor metode. Milnova metoda. Ničelna stabilnost. Ocena reda ničelno stabilne veččlenske metode. Metode, ki temeljijo na diferenčnih aproksimacijah odvoda. Implicitne BDF metode. Ničelna stabilnost, konsistentnost in konvergenca veččlenskih metod.
Osnove metod Liejevih grup.
Robni problemi: Linearne enačbe. Prevedba na začetne probleme in strelska metoda. Diferenčna metoda.
Uvod v integralske enačbe.

Temeljni literatura in viri

J. Kozak: Numerična analiza, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2008.
R. L. Burden, J. D. Faires: Numerical Analysis, 8th edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2005.
E. K. Blum: Numerical Analysis and Computation : Theory and Practice, Addison-Wesley, Reading, 1998.
Z. Bohte: Numerične metode, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1991.
S. D. Conte, C. de Boor: Elementary Numerical Analysis : An Algorithmic Approach, 3rd edition, McGraw-Hill, Auckland, 1986.
E. Isaacson, H. B. Keller: Analysis of Numerical Methods, John Wiley & Sons, New York-London-Sydney, 1994.
D. R. Kincaid, E. W. Cheney: Numerical Analysis : Mathematics of Scientific Computing, 3rd edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2002.

Cilji in kompetence

Slušatelj dopolni poznavanje metod za numerično odvajanje, integracijo in numerično reševanje navadnih diferencialnih enačb. Ob domačih nalogah pridobljeno znanje praktično utrdi.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje delovanja metod za numerično integriranje in reševanje navadnih diferencialnih enačb. Sposobnost numeričnega reševanja navadnih diferencialnih enačb in robnih problemov s pomočjo računalnika. Sposobnost izbire najprimernejšega algoritma glede na lastnosti problema.
Uporaba: Numerično računanje integralov in numerično reševanje navadnih diferencialnih enačb s pomočjo računalnika in ocenjevanje napak na podlagi teorije. V praksi (fizika, mehanika, kemija, ekonomija ...) se pogosto pojavljajo integrali in diferencialne enačbe, ki jih ni možno rešiti drugače kot numerično.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnost uporabe računalnika pri reševanju matematičnih problemov. Razumevanje razlik med eksaktnim in numeričnim računanjem. Predmet konstruktivno nadgrajuje zahtevnejša znanja analize in drugih področij matematike.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije.

Načini ocenjevanja

Način (domače naloge, pisni izpit, ustno izpraševanje, naloge, projekt):
domače naloge ali projekt
pisni izpit
ustni izpit
Ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Reference nosilca

Marjetka Krajnc:
JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, KRAJNC, Marjetka, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil. High order parametric polynomial approximation of conic sections. Constructive approximation, ISSN 0176-4276, 2013, vol. 38, iss. 1, str. 1-18. [COBISS-SI-ID 16716121]
KRAJNC, Marjetka. Interpolation scheme for planar cubic G [sup] 2 spline curves. Acta applicandae mathematicae, ISSN 0167-8019, 2011, vol. 113, no. 2, str. 129-143. [COBISS-SI-ID 16215385]
KRAJNC, Marjetka. Geometric Hermite interpolation by cubic G[sup]1 splines. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, ISSN 0362-546X. [Print ed.], 2009, vol. 70, iss. 7, str. 2614-2626. [COBISS-SI-ID 15508569]
Emil Žagar:
JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil. Lagrange geometric interpolation by rational spatial cubic Bézier curves. Computer Aided Geometric Design, ISSN 0167-8396, 2012, vol. 29, iss. 3-4, str. 175-188. [COBISS-SI-ID 16207449]
KOZAK, Jernej, ŽAGAR, Emil. On geometric interpolation by polynomial curves. SIAM journal on numerical analysis, ISSN 0036-1429, 2004, vol. 42, no. 3, str. 953-967. [COBISS-SI-ID 13398617]
ŽAGAR, Emil. On G [sup] 2 continuous spline interpolation of curves in R [sup] d. BIT, ISSN 0006-3835, 2002, vol. 42, no. 3, str. 670-688. [COBISS-SI-ID 12027993]