Teorija mere

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
temeljni izbirni
Skupina:
M1
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Mere: σ-algebre, pozitivne mere, zunanje mere, Caratheodoryjev izrek, razširitev mere iz algebre na sigma algebro, Borelove mere na R , Lebesguova mera na R.
Merljive funkcije: aproksimacija s stopničastimi funkcijami, načini konvergence funkcijskih zaporedij, izrek Jegorova.
Integracija: integral nenegativne funkcije, izrek o monotoni konvergenci, Fatoujeva lema, integral kompleksne funkcije, izrek o dominirani konvergenci, primerjava Riemannovega in Lebesguovega integrala, izrek Jegorova.
Produktne mere: konstrukcija produktnih mer, monotoni razredi, Tonellijev in Fubinijev izrek, Lebesguov integral na R^n.
Kompleksne mere: predznačene mere, Hahnov in Jordanov razcep, kompleksne mere, variacija mere, absolutna zveznost in vzajemna singularnost, Lebesgue-Radon-Nikodymov izrek.
L^p-prostori: neenakosti Jensena, Hölderja in Minkowskega, omejeni linearni funkcionali, dualni prostoir.
Integriranje na lokalno kompaktnih prostorih: pozitivni linearni funkcionali na C_c(X), Radonove mere, Rieszov izrek, Lusinov izrek, gostost prostora C_c(X) v L^p-prostorih.
Odvajanje mer na R^n : odvajanje mer, absolutno zvezne in funkcije z omejeno totalno variacijo.

Temeljni literatura in viri

C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw: Principles of Real Analysis, 3rd edition, Academic Press, San Diego, 1998.
R. Drnovšek: Rešene naloge iz teorije mere, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2001.
G. B. Folland: Real Analysis : Modern Techniques and Their Applications, 2nd edition, John Wiley & Sons, New York, 1999.
M. Hladnik: Naloge in primeri iz funkcionalne analize in teorije mere, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1985.
S. Kantorovitz: Introduction to Modern Analysis, Oxford Univ. Press, 2003.
B. Magajna: Osnove teorije mere, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2011.
W. Rudin: Real and Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1987.

Cilji in kompetence

Študent pridobi znanje osnov teorije mere, ki jih potrebuje za razumevanje osnov sodobnega verjetnostnega računa, statistike in funkcionalne analize.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje osnovnih pojmov teorije mere.
Uporaba: Teorija mere sodi med temeljne predmete na 2. stopnji študija matematike, saj je nujno potrebna za razumevanje osnov sodobnega verjetnostnega računa, statistike in funkcionalne analize. Poleg tega njena uporaba sega tudi v naravoslovje in druga področja znanosti kot na primer ekonomijo.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Sposobnost abstraktnega razmišljanja. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Izpit iz vaj (2 kolokvija ali pisni izpit)
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Roman Drnovšek:
DRNOVŠEK, Roman. Spectral inequalities for compact integral operators on Banach function spaces. Mathematical proceedings of the Cambridge Philosophical Society, ISSN 0305-0041, 1992, let. 112, str. 589-598. [COBISS-SI-ID 8169561]
DRNOVŠEK, Roman. On invariant subspaces of Volterra-type operators. Integral equations and operator theory, ISSN 0378-620X, 1997, let. 27, št. 1, str. 1-9. [COBISS-SI-ID 7038553]
DRNOVŠEK, Roman. A generalization of Levinger's theorem to positive kernel operators. Glasgow mathematical journal, ISSN 0017-0895, 2003, vol. 45, part 3, str. 545-555. [COBISS-SI-ID 12825945]
Marko Kandić:
KANDIĆ, Marko. On algebras of polynomially compact operators. Linear and Multilinear Algebra. 2016, vol. 64, no. 6, str. 1185-1196. [COBISS-SI-ID 17493337]
DRNOVŠEK, Roman, KANDIĆ, Marko. Positive operators as commutators of positive operators. Studia Mathematica. 2019, tom 245, str. 185-200. [COBISS-SI-ID 18407769]
KANDIĆ, Marko, MARABEH, Mohammad A. A., TROITSKY, Vladimir G. Unbounded norm topology in Banach lattices. Journal of mathematical analysis and applications. [Print ed.]. July 2017, vol. 451, iss. 1, str. 259-279. [COBISS-SI-ID 18160729]