Teorija števil

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
M2
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Nosilci predmeta:
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Predavatelj izbere med naslednjimi vsebinami:
1. Algebraična števila: diskriminanta, cela algebraična števila, celostna baza, norma in sled. Kvadratični in ciklotomični obsegi. Nerazcepni elementi. Problem enolične faktorizacije. Praelementi. Evklidski obsegi. Ramanujan-Nagellov izrek. Primarni razcep.
2. Mreže v Rn. Kvocientni torus. Izrek Minkowskega. Razcep celih števil na vsoto kvadratov. Dedekindov izrek. Konstante Minkowskega.
3. Legendrov simbol. Gaussov zakon o kvadratni recipročnosti. Dirichletev izrek o praštevilih v aritmetičnih zaporedjih. Jacobijev simbol.
4. Dirichletev izrek o obrnljivih elementih.
5. Praštevila. Eratostenovo rešeto. Testiranje razcepnosti celih števil. Psevdopraštevila. Fermateva in Mersennova števila. Carmichaelova števila. Razporeditev praštevil. Regularna praštevila. Hevristične metode. Eulerjeva psevdopraštevila. Nelinearne diofantske enačbe. Pitagorejske trojke. Pellova enačba. Kummerjeva teorija za regularna praštevila in Fermatev problem.
6. Lucasova zaporedja. Eulerjev polinom za iracionalna števila. Generiranje praštevil. Transcendentnost znanih števil.
7. Relativna sled in norma. Diskriminanta in diferenta. Primarni razcep v Galoisevih razširitvah. Izrek Kroneckerja in Webra. Teorija razredov.
8. p-adična števila. Formalne potenčne vrste.

Temeljni literatura in viri

I. Stewart, D. Tall: Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, AK Peters, Natick, ZDA. 3. izdaja, 2002.
P. Ribenboim: Classical Theory of Algebraic Numbers, Universitext. Springer-Verlag, New York, etc. 2001.
P. Ribenboim: The Little Book of Bigger Primes, Springer-Verlag, New York, etc. 2. izdaja, 2004.
K. H. Rosen: Elementary Number Theory and its Applications, Person, Boston, ZDA. 5. izdaja, 2005.
P. Ribenboim: My Numbers, my Friends, Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag, New York, etc. 2000.
A. A. Gioia: The Theory of Numbers. An Introduction, Dover Publ. 2001.
S. Alaca, K. S. Williams: Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge Univ. Press. 2004.

Cilji in kompetence

Študent se seznani z osnovami teorije števil in njihovo uporabo. Poudarek je na algebraični teoriji števil.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje:
Poznavanje osnovnih pojmov in izrekov teorije števil in njihovo prepoznavanje v drugih vejah matematike.
Uporaba:
V drugih vejah matematike, kriptografiji in teoriji kodiranja. Uporaba v računalništvu in informatiki, zlasti pri računalniški varnosti.
Refleksija:
Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Formulacija problemov v primernem jeziku, reševanje in analiza doseženega na primerih, prepoznavanje algebraičnih struktur v teoriji števil.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Izpit iz vaj (2 kolokvija ali pisni izpit)
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Tomaž Košir:
GRUNENFELDER, Luzius, KOŠIR, Tomaž, OMLADIČ, Matjaž, RADJAVI, Heydar. On groups generated by elements of prime order. Geometriae dedicata, ISSN 0046-5755, 1999, let. 75, št. 3, str. 317-332. [COBISS-SI-ID 8849241]
KOŠIR, Tomaž, SETHURAMAN, B. A. Determinantal varieties over truncated polynomial rings. Journal of Pure and Applied Algebra, ISSN 0022-4049. [Print ed.], 2005, vol. 195, no. 1, str. 75-95. [COBISS-SI-ID 13266265]
GRUNENFELDER, Luzius, KOŠIR, Tomaž. Geometric aspect of multiparameter spectral theory. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 1998, let. 350, št. 6, str. 2525-2546. [COBISS-SI-ID 8449113]