Uvod v funkcionalno analizo

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
temeljni izbirni
Skupina:
M1
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Hilbertovi prostori. Ortonormirani sistemi. Besslova neenakost. Kompletnost. Fouriereve vrste. Parsevalova enakost.
Linearni operatorji in funkcionali na Hilbertovih prostorih.
Reprezentacija zveznega linearnega funkcionala.
Adjungirani operator. Sebiadjungirani in normalni operatorji.
Projektorji in idempotenti. Invariantni podprostori.
Kompaktni operatorji. Spekter kompaktnega operatorja.
Diagonalizacija kompaktnega sebiadjungiranega operatorja.
Uporaba: Sturm-Liouvillovi sistemi.
Banachovi prostori. Primeri.
Linearni operatorji in funkcionali na Banachovih prostorih.
Končnorazsežni normirani prostori. Kvocienti in produkti normiranih prostorov.
Hahn-Banachov izrek in posledice. Separacija konveksnih množic.

Temeljni literatura in viri

B. Bollobás: Linear Analysis : An Introductory Course, 2nd edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999.
J. B. Conway: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer, New York, 1990.
Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis: Functional Analysis : An Introduction, AMS, Providence, 2004.
D. H. Griffel: Applied Functional Analysis, Dover Publications, Mineola, 2002.
M. Hladnik: Naloge in primeri iz funkcionalne analize in teorije mere, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1985.
E. Zeidler: Applied Functional Analysis : Main Principles and Their Applications, Springer, New York, 1995.

Cilji in kompetence

Študent spozna osnovne pojme teorije Hilbertovih prostorov in linearnih operatorjev med njimi. Z njeno uporabo se seznani pri reševanju Sturm-Liouvillovega problema. Nekoliko spozna tudi teorijo Banachovih prostorov, ki so posplošitev Hilbertovih prostorov.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje teorije Hilbertovih prostorov s teoretičnega in uporabnega vidika.
Uporaba: Uporaba funkcionalne analize sega tudi v naravoslovje in druga področja znanosti kot na primer ekonomijo.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Sposobnost abstraktnega razmišljanja. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Domače naloge
Izpit iz vaj
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Roman Drnovšek:
DRNOVŠEK, Roman. An irreducible semigroup of idempotents. Studia Mathematica, ISSN 0039-3223, 1997, let. 125, št. 1, str. 97-99. [COBISS-SI-ID 7436633]
DRNOVŠEK, Roman. Common invariant subspaces for collections of operators. Integral equations and operator theory, ISSN 0378-620X, 2001, vol. 39, no. 3, str. 253-266. [COBISS-SI-ID 10597721]
DRNOVŠEK, Roman. Invariant subspaces for operator semigroups with commutators of rank at most one. Journal of functional analysis, ISSN 0022-1236, 2009, vol. 256, iss. 12, str. 4187-4196. [COBISS-SI-ID 15167321]
Peter Šemrl:
ŠEMRL, Peter, VÄISÄLÄ, Jussi. Nonsurjective nearisometries of Banach spaces. Journal of functional analysis, ISSN 0022-1236, 2003, vol. 198, no. 1, str. 268-278. [COBISS-SI-ID 12371545]
ŠEMRL, Peter. Generalized symmetry transformations on quaternionic indefinite inner product spaces: an extension of quaternionic version of Wigner's theorem. Communications in Mathematical Physics, ISSN 0010-3616, 2003, vol. 242, no. 3, str. 579-584. [COBISS-SI-ID 12770649]
ŠEMRL, Peter. Applying projective geometry to transformations on rank one idempotents. Journal of functional analysis, ISSN 0022-1236, 2004, vol. 210, no. , str. 248-257. [COBISS-SI-ID 13012825]
Igor Klep:
KLEP, Igor, VINNIKOV, Victor, VOLČIČ, Jurij. Local theory of free noncommutative functions: germs, meromorphic functions, and Hermite interpolation. Transactions of the American Mathematical Society. Aug. 2020, vol. 373, no. 8, str. 5587-5625. ISSN 0002-9947. [COBISS-SI-ID 23631107]
HELTON, J. William, KLEP, Igor, MCCULLOUGH, Scott. The tracial Hahn-Banach theorem, polar duals, matrix convex sets, and projections of free spectrahedra. Journal of the European Mathematical Society. 2017, vol. 19, iss. 6, str. 1845-1897. ISSN 1435-9855. [COBISS-SI-ID 18057817]
HELTON, J. William, KLEP, Igor, MCCULLOUGH, Scott, VOLČIČ, Jurij. Bianalytic free maps between spectrahedra and spectraballs. Journal of functional analysis. Jun. 2020, vol. 278, iss. 11, art. 108472 (61 str.). ISSN 0022-1236. [COBISS-SI-ID 15911683]