Verjetnost 2

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi
Vrsta:
temeljni izbirni
Skupina:
M5
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Ure na teden – 1. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Markovske verige v diskretnem času: Slučajni procesi in markovska lastnost. Teorija markovskih verig. Povezava s teorijo grafov in linearno algebro. Osnovna struktura verig. Časi prvih prehodov in vrnitev. Povrnljiva in minljiva stanja. Poljubno mnogo obiskov stanja. Ergodično obnašanje verige. Limitni izreki. Posebnosti v končnem.
Markovske verige v zveznem času: Poissonov tok in Poissonov proces. Rojstni procesi: reševanje enačb Kolmogorova. Zvezna markovska lastnost. Naprejšnje in nazajšnje enačbe Kolmogorova in njihove rešitve. Stacionarna porazdelitev. Obratna pot do markovskih verig. Stabilnost in eksplozije. Diferencialne enačbe in generator polgrupe.
Uporaba markovskih verig: Čakalni sistemi (rojstno smrtni čakalni sistem, čakalni sistem M/M/1, osnovni pojmi teorije strežnih sistemov, nekateri pomembni primeri čakalnih sistemov). Metoda Monte Carlo markovskih verig (Bayesova statistika in Monte Carlo simulacije, algoritma Gibbsov vzorčevalnik in Metropolis-Hastings, konvergenca algoritmov, aplikacije v finančni matematiki).

Temeljni literatura in viri

G. Grimmett, D. Stirzaker: Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford Univ. Press, Oxford, 2001.
D. Williams: Probability with Martingales, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
L. C. G. Rogers, D. Williams: Diffusions, Markov Processes, and Martingales I : Foundations, 2nd edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000.
J. R. Norris: Markov Chains, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999.
S. I. Resnick: Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser, Boston, 1992.

Cilji in kompetence

Pri predmetu obravnavamo vrsto posebnih verjetnostnih vsebin, pri katerih ni potrebno globoko teoretično predznanje, so pa pomembne za uporabo. Poudarek je predvsem na ergodični teoriji, tako v diskretnem kot zveznem času. Uporabe vključujejo teorijo čakalnih sistemov ter MCMC metode.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje:
Spoznavanje nekaterih najpomembnejših aplikacij verjetnosti.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Način (pisni izpit, ustno izpraševanje, naloge, projekt):
izpit iz vaj, ki ga je možno nadomestiti z 2 kolokvijema
izpit iz teorije, ki ga je možno delno nadomestiti s teoretičnimi testi
ocene: 1-5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Reference nosilca

Mihael Perman:
PERMAN, Mihael, PITMAN, Jim, YOR, Marc. Size-biased sampling of Poisson processes and excursions. Probability theory and related fields, ISSN 0178-8051, 1992, 92, no. 1, str. 21-39. [COBISS-SI-ID 12236377]
PERMAN, Mihael, WELLNER, Jon A. On the distribution of Brownian areas. Annals of applied probability, ISSN 1050-5164, 1996, let. 6, št. 4, str. 1091-1111. [COBISS-SI-ID 7101017]
PERMAN, Mihael. An excursion approach to Ray-Knight theorems for perturbed Brownian motion. Stochastic Processes and their Applications, ISSN 0304-4149. [Print ed.], 1996, let. 63, str. 67-74. [COBISS-SI-ID 7621465]

Janez BERNIK:
1) BERNIK, Janez, RADJAVI, Heydar. Invariant and almost-invariant subspaces for pairs of idempotents. Integral equations and operator theory,ISSN 0378-620X, 2016, vol. 84, iss. 2, str. 283-288. http://dx.doi.org/10.1007/s00020-015-2260-3, doi: 10.1007/s00020-015-2260-3.
2.) BERNIK, Janez, POPOV, Alexey I. Obstructions for semigroups of partial isometries to be self-adjoint. Mathematical proceedings of the Cambridge Philosophical Society, ISSN 0305-0041, 2016, vol. 161, iss. 1, str. 107-116. http://dx.doi.org/10.1017/S0305004116000141.
3. ) BERNIK, Janez, MARCOUX, Laurent W., POPOV, Alexey I., RADJAVI, Heydar. On selfadjoint extensions of semigroups of partial isometries. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 2016, vol. 368, no. 11, str. 7681-7702. http://dx.doi.org/10.1090/tran/6619.