Slučajni procesi 2

Pogojev za vključitev v delo ni.

Brownovo gibanje:
Osnovne lastnosti, obstoj, lastnosti trajektorij, naravna filtracija, čas prvega dotika, markovske lastnosti, krepka lastnost Markova, princip zrcaljenja, pridruženi procesi (proces tekočega supremuma, Brownov most itd.), kvadratična variacija.
Martingali v zveznem času:
Filtracije, časi ustavljanja, martingali, izreki o ostavljanju, enakomerna integrabilnost, maksimalne neenakosti, konvergenca martingalov.
Stohastični integral:
Stohastični integral glede na Brownovo gibanje, Itova izometrija, zvezni polmartingali, zvezni lokalni martingali, kvadratična variacija in kovariacija, stohastični integral glede na zvezne polmartingale, Itova formula, izrek Girsanova, izrek o reprezentaciji martingalov.

1. I. Karatzas, S. E. Shreve: Brownian motion and stochastic calculus, 2nd ed., New York : Springer, cop. 1998.
2. S. Resnick: Adventures in stochastic processes, Boston : Birkhäuser, cop. 1992.
3. D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion, Berlin : Springer, 1991.
4. J. M. Steele: Stochastic calculus and financial applications, New York : Springer, cop. 2001.

Predmet predstavlja uvod v teorijo slučajnih procesov v zveznem času z zveznimi trajektorijami. Rigorozno obravnava Brownovo gibanje kot osnovni primer in gradnik,vpelje martingale v zveznem času, Itôv stohastični račun in Itovo formulo.

Znanje in razumevanje: Matematična orodja za strogo obravnavo in uporabo slučajnih procesov.
Uporaba:
Osnova za modeliranje v mnogih vejah matematike in njene uporabe.
Refleksija:
Vsebina predmeta pomaga za nazaj poglobiti razumevanje konceptov verjetnosti, koncepta odvisnosti in časa.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Spretnosti so prenosljive na druga področja matematičnega modeliranja, še najbolj pa je predmet pomemben zaradi svoje neposredne uporabnosti pri finančnem modeliranju.

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Pisni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Mihael Perman:
PERMAN, Mihael, PITMAN, Jim, YOR, Marc. Size-biased sampling of Poisson processes and excursions. Probability theory and related fields, ISSN 0178-8051, 1992, 92, no. 1, str. 21-39. [COBISS-SI-ID 12236377]
PERMAN, Mihael, WELLNER, Jon A. On the distribution of Brownian areas. Annals of applied probability, ISSN 1050-5164, 1996, let. 6, št. 4, str. 1091-1111. [COBISS-SI-ID 7101017]

Matija Vidmar:
MIJATOVIĆ, Aleksandar, VIDMAR, Matija, JACKA, Saul D. Markov chain approximations for transition densities of Lévy processes. Electronic journal of probability. 2014, vol. 19, paper no. 21 (str. 1-37). ISSN 1083-6489. http://dx.doi.org/10.1214/EJP.v19-2208.
VIDMAR, Matija. Another characterization of homogeneous Poisson processes. Stochastics. 2018, vol. 90, iss. 6, str. 876-885. ISSN 1744-2508. https://doi.org/10.1080/17442508.2018.1457674, DOI: 10.1080/17442508.2018.1457674
VIDMAR, Matija. A temporal factorization at the maximum for certain positive self-similar Markov processes. Journal of Applied Probability. Dec 2020, vol. 57, iss. 4, str. 1045-1069. ISSN 0021-9002. https://doi.org/10.1017/jpr.2020.62, DOI: 10.1017/jpr.2020.62