Analiza 1

2021/2022
Program:
Enoviti magistrski študijski program 2. stopnje Pedagoška matematika
Letnik:
1 letnik
Semester:
prvi in drugi
Vrsta:
obvezni
ECTS:
18
Jezik:
slovenski
Ure na teden – 1. semester:
Predavanja
4
Seminar
0
Vaje
4
Laboratorij
0
Ure na teden – 2. semester:
Predavanja
4
Seminar
0
Vaje
4
Laboratorij
0
Vsebina

Številski sistemi. Aksiomi obsega. Urejenost. Natančna zgornja meja. Dedekindov aksiom. Evklidski prostori. Preslikave in funkcije. Moč množice. Kardinalna števila.
Številska zaporedja. Stekališče in limita. Cauchyjev kriterij. Algebraične operacije s konvergentnimi zaporedji. Monotona zaporedja. Elementarna teorija številskih vrst. Konvergenca. Vrste s pozitivnimi členi. Cauchyjev kriterij. Algebraične operacije. Konvergenčni kriteriji. Potenčne vrste. Absolutna in pogojna konvergenca. Leibnizev kriterij. Cauchyjev produkt vrst.
Funkcije ene spremenljivke. Zveznost. Limitne vrednosti. Lastnosti zveznih funkcij. Pregled zveznosti elementarnih funkcij.
Odvod funkcije. Geometrijski in fizikalni pomen. Diferencial in tangentna aproksimacija. Pravila za odvajanje. Rollov in Lagrangeev izrek. Uporaba pri analizi funkcij. Višji odvodi. L'Hôpitalovi izreki.
Nedoločeni in določeni integral funkcije ene spremenljivke. Izreki o obstoju integrala. Lastnosti integrala. Povezava med določenim in nedoločenim integralom. Izreki o povprečni vrednosti. Posplošeni integrali. Uporaba. Integracijske metode.
Konvergenca funkcijskih zaporedij in vrst. Člensko odvajanje in integriranje. Taylorjeva formula z ostankom in uporaba. Vrste nekaterih elementarnih funkcij.
Topologija metričnih prostorov. Stekališča množic in zaporedij. Limita zaporedja. Odprte in zaprte množice. Cauchyjeva zaporedja in polnost. Kompaktnost. Heine-Borelov izrek. Zvezne preslikave. Banachov izrek o obstoju negibne točke skrčitve.

Temeljni literatura in viri

I. Vidav: Višja Matematika I, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1994.
N. Prijatelj: Uvod v matematično analizo I, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1980.
S. Lang: Undergraduate Analysis, 2nd edition, Springer, New York, 1997.
W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York-Auckland-Düsseldorf, 1976.
R. S. Strichartz: The Way of Analysis, Jones & Bartlett, Boston, 2000.
K. A. Ross: Elementary Analysis : The Theory of Calculus, Springer, New York-Heidelberg, 2003.

Cilji in kompetence

Študent spozna osnovne pojme matematične analize, kot so limita, zveznost, odvod in integral funkcije ene realne spremenljivke, številske in funkcijske vrste, metrični prostori. Analiza 1 sodi med temeljne predmete pri študiju matematike.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje diferencialnega in integralskega računa funkcij ene realne spremenljivke ter sorodnih tem. Uporaba razvitih metod v geometriji in naravoslovju.Uporaba: Analiza 1 sodi med temeljne predmete pri študiju matematike, uporaba sega v naravoslovje in na druga področja znanosti.Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Postavitev problema, izbira metode, reševanje problema, analiza rezultata na primerih. Formulacija problemov v matematičnem jeziku. Spretnost uporabe literature.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Način (pisni izpit, ustno izpraševanje, naloge, projekt):
4 kolokviji namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj,
izpit iz teorije
ocene: 1-5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Reference nosilca

Miran Černe:
ČERNE, Miran, ZAJEC, Matej. Boundary differential relations for holomorphic functions on the disc. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2011, vol. 139, no. 2, str. 473-484. [COBISS-SI-ID 15710553]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Some remarks on Hartogs' extension lemma. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2010, vol. 138, no. 10, str. 3603-3609. [COBISS-SI-ID 15696473]
ČERNE, Miran. Nonlinear Riemann-Hilbert problem for bordered Riemann surfaces. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2004, vol. 126, no. 1, str. 65-87. [COBISS-SI-ID 12895577]
ČERNE, Miran. Matematika 2, (Matematični rokopisi, 24). Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije: DMFA - založništvo, 1999. 127 str., ilustr. ISBN 961-212-096-X. [COBISS-SI-ID 103971072]
Barbara Drinovec Drnovšek:
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara, FORSTNERIČ, Franc. Strongly pseudoconvex domains as subvarieties of complex manifolds. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2010, vol. 132, no. 2, str. 331-360. [COBISS-SI-ID 15549529]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. Discs in Stein manifolds containing given discrete sets. Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874, 2002, vol. 239, no. 4, str. 683-702. [COBISS-SI-ID 11567449]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. Proper holomorphic discs avoiding closed convex sets. Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874, 2002, vol. 241, no. 3, str. 593-596. [COBISS-SI-ID 12076377]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara, STRLE, Sašo. Naloge iz analize 1 : z odgovori, nasveti in rešitvami, (Izbrana poglavja iz matematike in računalništva, 46). 1. natis. Ljubljana: DMFA - založništvo, 2010. 285 str., ilustr. ISBN 978-961-212-219-5. [COBISS-SI-ID 250561280]
Franc Forstnerič:
FORSTNERIČ, Franc. Holomorphic families of long c [sup] 2's. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2012, vol. 140, no. 7, str. 2383-2389. [COBISS-SI-ID 16435289]
FORSTNERIČ, Franc. Stein manifolds and holomorphic mappings : the homotopy principle in complex analysis, (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Folge 3, vol. 56). Heidelberg [etc.]: Springer, cop. 2011. X, 489 str., ilustr. ISBN 978-3-642-22249-8. ISBN 978-3-642-22250-4. [COBISS-SI-ID 16008025]
FORSTNERIČ, Franc. Runge approximation on convex sets implies the Oka property. Annals of mathematics, ISSN 0003-486X, 2006, vol. 163, no. 2, str. 689-707. [COBISS-SI-ID 13908825]