Preskoči na glavno vsebino

Izbrana poglavja iz topologije

2023/2024
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Finančna matematika
Letnik:
1 ali 2 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
temeljni izbirni
Skupina:
M3
ECTS:
6
Jezik:
slovenski, angleški
Izvajalec (kontaktna oseba):
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
2
Seminar
1
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Predavatelj izbere nekatere pomembne teme s področja topologije, kot so na primer:
Vozli in spleti: Osnovni primeri invariant. Vozli in ploskve, Seifertova forma. Povezana vsota in razcep na pravozle. Polinomske invariante: Alexandrov in Jonesov polinom. Homologija Hovanova. Grupa kit. Mrežna homologija.
3- in 4-mnogoterosti: Konstrukcije: dekompozicija na ročaje, kirurgija, Heegaardov razcep in krovni prostori. Cassonova in Rohlinova invarianta. Fundamentalna grupa in njene upodobitve. Osnove Seiberg-Wittnove teorije in Heegaard-Floerove homologije.
Topologija gladkih mnogoterosti: Morsova teorija. Diferencialne forme in De Rhamova kohomologija. Hodgeva teorija. Kontaktne in simplektične strukture na mnogoterostih.
Diskretna Morsova teorija: Simplicialni kompleksi in simplicialne preslikave: abstraktni simplicialni kompleksi, geometrijska realizacija, subdivizija, simplicialna aproksimacija. Deformacije in kolapsi. Diskretna Morsova funkcija, gradientno vektorsko polje, Morsov verižni kompleks in Morsova homologija, diskretne Morsove neenakosti. Računski algoritmi in implementacija.
Topološka robotika: Prostor stanj in prostor leg robotske naprave, načrt gibanja in upravljanja. Pojem topološke kompleksnosti načrtovanja gibanja in upravljanja robotske naprave, zgornje in spodnje meje za topološko kompleksnost.
Vztrajna homologija: Filtracije prostorov, vztrajnostni kompleks in njegova homologija, izreki o stabilnosti.
Topološke metode v teoriji grup: Končnostne lastnosti grup. Kohomologija neskončnih grup. Homotopska teorija grup. PL Morsova teorija.
Karakteristični razredi vektorskih svežnjev: Kohomološki kolobar gladke mnogoterosti in vektorski sveženj nad gladko mnogoterostjo. Stiefel-Whitneyjevi karakteristični razredi. Orientabilnost svežnja, Thomov izrek. Kompleksifikacija svežnja, Chernovi razredi in Pontrjaginovi razredi.

Temeljni literatura in viri
  • R. Gompf in A. Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus, Graduate Studies in Mathematics 20, American Mathematical Society, 1999.
  • L. Kauffman: On knots, Annals of Mathematics Studies 115, Princeton University Press, 1987.
  • D. Rolfsen: Knots and links, Mathematics lecture series 7, Publish or Perish, 1990.
  • N. Saveliev: Lectures on the topology of 3-manifolds, An introduction to the Casson invariant, De Gruyter, 2012.
  • M. Hirsch: Differential topology, Graduate Texts in Mathematics 33, Springer, 1976.
  • H. Edelsbrunner, J. Harer: Computational Topology: an Introduction, American Mathematical Society, 2010.
  • R. Ghrist: Applied algebraic topology and sensor networks, https://www2.math.upenn.edu/~ghrist/preprints/ATSN.pdf
  • N. Scoville: Discrete Morse Theory, Student Mathematical Library 90, American Mathematical Society, 2019.
  • M. Farber: Invitation to topological robotics, Zurich Lectures in Advanced Mathematics, European Mathematical Society (EMS), 2008.
  • R. Geoghegan, Topological methods in group theory, Graduate Texts in Mathematics 243, Springer, 2008.
  • M. Bestvina, PL Morse theory, Math. Commun. 13 (2008), št. 2, 149–162.
  • J. Milnor, J. Stasheff: Characteristic classes, Annals of mathematics studies 76, Princeton University Press, 1974.
  • D. Husemoller, Fibre bundles, Graduate Texts in Mathematics 20, Springer, 1994.
  • L. Nicolaescu, Lectures on the geometry of manifolds, World Scientific Publishing Co., 2021.
Cilji in kompetence

Cilji in kompetence predmeta sovpadajo s cilji in kompetencami študijskega programa.

Predvideni študijski rezultati

Študent spozna eno ali več pomembnih oziroma zahtevnejših tem iz topologije do te mere, da se na relevantnem področju lahko začne seznanjati z raziskovalnimi problemi.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, diskusija, vaje, domače naloge.

Načini ocenjevanja

Izpit iz teorije, izpit iz vaj, domače naloge.

Reference nosilca

Petar Pavešić:
GOVC, Dejan, MARZANTOWICZ, Wacław, PAVEŠIĆ, Petar. Estimates of covering type and the number of vertices of minimal triangulations. Discrete & computational geometry. Jan. 2020, vol. 63, iss. 1, str. 31-48. [COBISS-SI-ID 18627417]
PAVEŠIĆ, Petar. Topological complexity of a map. Homology, homotopy, and applications. Jan. 2019, vol. 21, no. 2, str. 107-130. [COBISS-SI-ID 18590297]
PAVEŠIĆ, Petar. Triangulations with few vertices of manifolds with non-free fundamental group. Proceedings. Section A, Mathematics. Dec. 2019, vol. 149, iss. 6, str. 1453-1463. [COBISS-SI-ID 18671705]
Jaka Smrekar:
SMREKAR, Jaka. Rational Reidemeister trace of an outer automorphism of finite order. Journal of Pure and Applied Algebra. July 2023, vol. 227, iss. 7, art. 107350 (13 str.). ISSN 0022-4049. [COBISS-SI-ID 141555715]
SMREKAR, Jaka. Gottlieb’s theorem for a periodic equivalence. Journal of fixed point theory and its applications. Dec. 2022, vol. 24, iss. 4, art. 73 (15 str.). ISSN 1661-7738. [COBISS-SI-ID 125772547]
FORSTNERIČ, Franc, SMREKAR, Jaka, SUKHOV, Alexandre. On the Hodge conjecture for q-complete manifolds. Geometry & topology. 2016, vol. 20, no. 1, str. 353-388. ISSN 1465-3060. [COBISS-SI-ID 17622361]
Sašo Strle:
RUBERMAN, Daniel, SLAPAR, Marko, STRLE, Sašo. On the Thom conjecture in CP^3. International mathematics research notices, ISSN 1687-0247, 2021, vol. 2022, 1 spletni vir (1 datoteka pdf (14 str.)). [COBISS-SI-ID 89922563]
LEVINE, Adam Simon, RUBERMAN, Daniel, STRLE, Sašo, GESSEL, Ira M. Nonorientable surfaces in homology cobordisms. Geometry & topology, ISSN 1465-3060, 2015, vol. 19, no. 1, str. 439-494. [COBISS-SI-ID 17557337]
OWENS, Brendan, STRLE, Sašo. Dehn surgeries and negative-definite four-manifolds. Selecta mathematica, New series, ISSN 1022-1824, 2012, vol. 18, iss. 4, str. 839-854. [COBISS-SI-ID 16808025]